構在拋物線上的最架——兩道中考試題及變式研究 值

☉湖北省武漢市吳家山第三中學 吳 波

初中階段，涉及到“最”值問題的定理、性質有三個：1.兩點之間，線段最短，以及其派生出來的三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；2.二次函數的最大值和最小值；3.垂線段最短.縱觀近年相關中考題，拋物線中的最值問題，大約涉及以下四個方面：線段最長、面積最大、線段之和最小、線段之差最大，前面二者可轉化成用“二次函數最值”解決，后二者常用軸對稱轉化成用“兩點之間，線段最短”來解決.本文擬以去年山東兩個地方中考題為例，敘述架構在拋物線上的最值問題，及可能的變式.為與本文所述最值相關，故將原題中無關問題舍去.

一、線段最長、面積最大，利用“二次函數的最值”解決

例1（2011山東威海）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A（-3，0）和點B（1，0），交y軸于點E（0，-3）.點C是點A關于點B的對稱點，直線y=-x+m過點C，交y軸于點D.點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值.

略解：易求拋物線表達式為y=x2+2x-3，直線CD的表達式為y=-x+5.設K點的坐標為（t，0），則H點的坐標為（t，-t+5），G點的坐標為（t，t2+2t-3）.

因為點K為線段AB上一動點，

所以-3≤t≤1.

變式2：如圖2，點G在何處時，△GDC的面積最大？

分析1：由于CD為定值，所以高GS最大時，面積最大.

分析2：要高GS最大，可平移直線CD，當其與拋物線只有一個交點時，這個交點即為所求點G.

分析3：過C、D兩點作GH的垂線段，將△GDC重新分割組合，則有：

求線段最長和面積最大，關鍵在于將其表示出來，再用二次函數最值解決.

二、線段之和最小，線段之差最大，利用“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”解決

分析：本題本質即為已知點C、點D在x軸同側，在x軸上找一點M，使MC＋MD最短.作出點C關于x軸的對稱點C′，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC＋MD的值最小.求直線C′D的解析式，進而可求點M坐標.

變式1：如圖3，在拋物線對稱軸上找一點E，使△EAC的周長最小，并求其值及點E的坐標.

分析：使△EAC的周長最小，即AC+CE+EA的值最小，而線段AC長度不變，從而轉化成兩條線段之和最小.題中易找到點A關于對稱軸的對稱點B，所以連BC，與對稱軸的交點即為所求點E.此時，CE＋EA=CE＋EB=BC.線段AC和BC可用勾股定理求出，從而可求出△EAC的周長最小值.求直線BC的解析式，即可得點E坐標.

變式2：點C關于對稱軸的對稱點為N，在直線AC上找點P，使四邊形BNDP的周長最短，并求點P的坐標.

變式3：如圖3，在拋物線對稱軸上找一點F，使點F到點B和點C的距離之差最大，并求點F的坐標.

分析：由點A、點B關于對稱軸對稱，可知FA=FB，要使得FBFC的值最大，即是使得FA-FC的值最大.根據三角形兩邊之差小于第三邊可知，當點A、C、F三點在同一直線上時，其差值最大，所以過點A、C的直線交拋物線對稱軸于點F，則該點即為所求.

變式4：如圖4，點A關于BC的對稱點為N，AG∥BN交直線BC于點G，若點P，點Q為直線BC、BN上的兩動點，連NP、PQ、QG，求這三條線段和的最小值.

分析：由點A、N關于直線BC對稱可知NP＋PQ的最小值為AQ，而AQ＋QG的最小值，則可找點G關于BN的對稱點G′，連AG′，交BC、BN的交點即為所求的P、Q點的位置，最小值為AG′的長，在直角三角形AGG′中用勾股定理可求.

求線段和最小及差最大，題中的拋物線只是一個載體，本質是利用軸對稱將多線段轉化在一條直線上求最大（小）值的問題.