他山之石 可以攻玉

☉江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

勾股定理形式簡(jiǎn)單、寓意深刻，是人類的寶貴財(cái)富.關(guān)于勾股數(shù)，人們有如下的發(fā)現(xiàn)：

例1AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合），點(diǎn)C是BE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點(diǎn)H，點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合.

（1）求證：△AHD∽△CBD

（2）連HB，若CD=AB=2，求HD+HO

解：（1）略；

（2）設(shè)OD=x，則BD=1-x，AD=1+x.

在Rt△HOD中，由勾股定理得：

例2 探索研究：

（1）求證：H點(diǎn)為線段AQ的中點(diǎn)；

（2）求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；

解：（1）、（2）①略；

過(guò)P作PG⊥y軸，垂足為G，在Rt△APG中，AP=

所以平行四邊形APQR為菱形.

（3）略.

例3（2010年江蘇南通卷）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n）是拋物線y=ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積.

（2）相切；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，延長(zhǎng)HP交x軸于點(diǎn)G.

所以O(shè)P=PH，要使△PDO的周長(zhǎng)最小，因?yàn)镺D是定值，所以只要OP+PD最小.

（1）求b的值.

（2）求x1·x2的值.

（3）分別過(guò)M、N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M1、N1，判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結(jié)論.

（4）對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切.如果有，請(qǐng)求出這條直線m的解析式；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）b=1；（2）、（3）略；

（4）存在，該直線為y=-1.理由如下：

直線y=-1即為直線M1N1.

通過(guò)以上例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)：只要選擇恰當(dāng)?shù)慕鉀Q問(wèn)題的方法，看似困難的問(wèn)題往往并不像看上去那么困難，我們似乎得出這樣的結(jié)論：因?yàn)槭郎虾芏嗟览矶际窍嗤ǖ?，所以只要我們用心去發(fā)現(xiàn)，智慧就在我們身邊.