方程思想在《三角形》一節(jié)中的應(yīng)用探微

☉江蘇省鎮(zhèn)江市第九中學(xué) 姚正紅

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，是貫穿數(shù)學(xué)課程的紅線，是解決問(wèn)題的策略和方法；只有在教學(xué)中有意思地滲透、提醒、運(yùn)用才能使學(xué)生融匯貫通，在實(shí)際中方能游刃有余.對(duì)于七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，方程思想的學(xué)習(xí)和掌握將直接影響到今后的學(xué)習(xí)，特別是對(duì)初二、初三以及中考?jí)狠S題的分析是大有益處的，下面就方程思想在《三角形》一節(jié)中的應(yīng)用進(jìn)行探討，以供大家商榷.

一、利用題目中角度之間的比值關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再由多邊形內(nèi)角和定理為等量關(guān)系列方程

例1 （1）△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，則△ABC是（ ）三角形.

A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.無(wú)法確定.

解：因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，

所以可設(shè)∠A＝x°，則∠B＝2x°，∠C＝3x°.

因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，即x＋2x＋3x＝180°，

解之得：x＝36.所以最大角∠C＝3×36°＝108°.因此，選C.

（2）四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4.

則∠A＝_____；∠B＝_____；∠C＝_____；∠D＝_____.

解：因?yàn)椤螦∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，

所以可設(shè)∠A＝x°，則∠B＝2x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°.

又因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，即x＋2x＋3x＋4x＝360.

解之，得：x＝36，所以∠A＝36°，則∠B＝72°，∠C＝108°，∠D＝144°.

練習(xí)1： （1）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2.

則∠A＝______；∠B的一個(gè)外角等于______.

（2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶5，則它們的外角的比是______.

二、利用題目中角度之間的數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理為等量關(guān)系列方程

例2 （1）在△ABC中，如果∠A＋∠B＝2∠C，那么∠C的度數(shù)是________.

A.30° B.45° C.60° D.90°

解：因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝2∠C，

所以3∠C＝180°，所以∠C＝60°.選C.

（2）在△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，則△ABC中最大角是（ ）.

A.鈍角 B.直角 C.銳角 D.平角

解：因?yàn)椤螦＝2∠B＝3∠C，

因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，

練習(xí)2： （1）在△ABC中，6∠A＝4∠B＝3∠C，則△ABC中最大角是______＝______度.

（2）在△ABC中，∠C比∠A與∠B的和小20°，∠B的2倍比∠A小10°，求各角的度數(shù).

三、利用多邊形內(nèi)角和定理為等量關(guān)系列方程，求邊數(shù)

例3 （1）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1980°，則它是______邊形.

解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則（n-2）·180°＝1980°，解之，得n＝13.

（2）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則這個(gè)多邊形是（ ）.

A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形

解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則（n-2）·180°＝360°.

解之，得n＝4.因此選B.

練習(xí)3：（1）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則此多邊形的邊數(shù)是______.

四、利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及多邊形的內(nèi)角與和它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角的等量關(guān)系列方程，求角度

例4（1）一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且比它的一個(gè)外角大100°，則邊數(shù)n＝______.

解：設(shè)每一個(gè)外角為x°，x°＋100°＋x°＝180°.解之，得x°＝40°.

（2）求下圖中x的值.

解：由三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，

x°+20°+x°=x°+70°，所以x=50.

練習(xí)4： 如圖，∠B∶∠1∶∠2=1∶2∶3，則∠2=______.

五、利用多邊形內(nèi)角和是180°的整數(shù)倍為隱含條件，進(jìn)行推理，求邊數(shù)

例5（1）一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，形成另一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和是2520°，則原多邊形的邊數(shù)不可能是（ ）.

A.15條 B.16條 C.17條 D.18條

解：（n-2）·180°=2520°，n=16.

說(shuō)明：截去一個(gè)角后是16邊形，所以原來(lái)可能是：十五邊形、十六邊形、十七邊形.

（2）若一個(gè)n邊形n個(gè)內(nèi)角與某一個(gè)外角的總和為1350°，則n等于（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

解：設(shè)某一個(gè)外角的度數(shù)是x°，則：

由90°+x°必須是180°的整數(shù)倍，且0°＜x°＜180°，

所以一定有：90°+x°=180°.解之，得x°=90°.

n-2=8-1，n=9.選D.

練習(xí)5： 王華在計(jì)算某個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，不慎漏掉了一個(gè)角，他得出的結(jié)果是2008°，這個(gè)多邊形是幾邊形？正確的結(jié)果應(yīng)該是多少度？

六、利用題目中的角度關(guān)系，找出一個(gè)關(guān)鍵角設(shè)未知數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和或三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列方程

例6 （1）如圖，∠ABC=∠C=∠BDC，∠ABD=∠A，求∠A的度數(shù).

（2）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且∠1=∠2，∠4=2∠3，∠BAC=70°，求∠2和∠4的度數(shù).

解：（1） 設(shè)∠A=x°，則∠ABD=∠A=x°，因?yàn)椤螧DC=∠A+∠ABD，

所以∠BDC=2x°，進(jìn)一步可得∠ABC=∠C=∠BDC=2x°.

因?yàn)椤螦+∠ABC+∠C=180°，即x°+2x°+2x°=180°.

解之，得x°=36°，所以∠A=36°.

解：（2）設(shè)∠3=x°，則∠4=2∠3=2x°，∠2=∠1=∠3+∠4=3x°.

因?yàn)椤螧AC+∠4+∠2=180°，∠BAC=70°，

所以70°+2x°+3x°=180°.

解之，得x°=22°，所以∠4=2x°=44°，∠2=3x°=66°.

練習(xí)6 （1）如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC.

（2）已知△ABC中，∠CAB的角平分線是AD，∠B=∠BAD，∠C=60°，∠B=______，∠ADC=______.

通過(guò)上述例題的分析與講練，在幾何入門教學(xué)中有目的地增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，高屋建瓴地上升到理論上，使學(xué)生有法可循，并在此基礎(chǔ)上，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，使教為不教，是真教也.