用數(shù)值代入的方法證明平面幾何題

☉上海市新黃浦實驗學校 許 敏

平面幾何中的證明題很多可以用數(shù)值代入的方法去證明，其基本思想是這樣的：首先將幾何證明中的點的坐標用符號來表示，然后將幾何條件轉化為代數(shù)求解問題，最后對給定的符號用具體的數(shù)值來代替，從而達到證明的目的.

1.將幾何證明問題轉化為代數(shù)問題

例1 證明正方形的對角線互相垂直平分.

分析：首先設定正方形的四個頂點的坐標，假設已知正方形ABCD以AD為x軸，以AB為y軸，邊長為a，則A、B、C、D坐標分別為A（0，0），B（0，a），C（a，a），D（a，0）.則直線AC的解析式為y=x，直線BD的解析式為y=a-x.證明對角線互相垂直平分，則需要證明|AE|=|EC|，|BE|=|ED|，而且AC⊥BD.因此，該幾何證明題可轉化為代數(shù)問題為：

1.證明直線AC與直線BD垂直：直線AC和BD的斜率都可表示為關于a的表達式，接著證明兩斜率的乘積為-1.

2.|AE|=|EC|，|BE|=|ED|：線段AE、EC、BE、ED的長度都可以轉化為關于a的表達式，然后來證明其對應的關于a的代數(shù)表達式的等號左右兩邊相等.

以上用這個例子來說明如何將幾何問題轉化為代數(shù)問題，并且闡述如何用代數(shù)的方法來解幾何問題.對于簡單的幾何問題，它所涉及的符號比較少，如例1，我們只需要設一個符號就可以把其余的點的坐標表示出來.但是，對于很多幾何問題，它所涉及的符號太多，在推理以及計算過程中非常復雜，如果用例1的方法來處理將十分困難，接下來我們討論如何用具體數(shù)值代入的方法來證明幾何題.

2.具體數(shù)值代入法

具體數(shù)值代入法是將代數(shù)問題中出現(xiàn)的符號直接用隨機取的數(shù)值代入進行計算和證明.我們用下面的例子來描述該方法.

例2 證明三角形三條中線交于一點.

例3 平行四邊形對角線互相平分.