優化遞進式變式題組應用的幾點思考

☉上海市華東師大一附中實驗中學 劉海濤

劉海濤（生于1963年10月17日），上海市楊浦區人，任職于上海市華東師大一附中實驗中學，2000年被評為中學高級教師，參加上海市市級課題《分層遞進教學新法實踐與研究》的研究，并先后在 《中小學數學》、《中學數學》《中國數學教育》《初中數學教與學》《數學教學》《上海中學數學》等專業期刊發表論文10多篇.主要從事初中數學課堂教學和初中數學分層遞進教學的研究.

何謂遞進式變式題組？遞進式變式題組是指在課堂教學中，為了達到某一教學目的，根據學生的認知規律，合理有效地設計一組數學問題，且這組數學問題又有一定的內在邏輯聯系，即前一個問題是后一個問題的特殊情況，后一個問題是前一個問題的一般的情況，這樣由特殊到一般的題目組合稱為遞進式變式題組.這種遞進式變式題組，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋式上升，有利于學生對問題本質的深刻理解，進而掌握解題規律，突破教學中的難點；有利于學生鞏固知識技能和提高學生的數學能力；有利于學生形成良好的數學認知結構.如果能恰到好處地使用遞進式變式題組，就會使課堂教學取得事半功倍的效果，因此課堂教學中如何應用遞進式變式題組，是值得每位數學教師常思考的問題.

一、突破難點建構數學認知結構

教學難點是指教師難教、學生難學的知識，或不易掌握的技能、技巧.難點有時又要根據學生的實際水平來定.在一般情況下，使大多數學生感到困難的內容就是難點，教師要利用各種有效策略加以突破，否則這部分內容不但學生掌握不好，還會給學生理解以后的新知識和掌握新技能造成困難.如何搭建合適的臺階突破難點，正是教學藝術之所在.要想攻克教學難點，極其重要的一條原則就是循序漸進，遞進式變式題組較好地解決了上述問題.

例如：三元一次方程組的解法是初中代數教學難點之一，學生雖然已經知道了解法，用代入消元法或加減消元法把三元一次方程組轉化為二元一次方程組，然后再通過消元把二元一次方程組轉化為一元一次方程來解的思想方法.但因為方程和未知數較多，很多學生往往無從下手，因此在教學中通過編寫遞進式變式題組，由簡單到復雜，然后使學生通過轉化，再把復雜問題轉化為簡單問題，進而解出三元一次方程組，效果會更好.

在消元的方法選擇上，要求學生除特殊的三元一次方程組（至少有一個方程是一元一次方程）選用代入消元法外，對非特殊三元一次方程組，選用加減消元法，因為代入消元法的運算量比較大，學生運算容易出錯.在加減消元法中，學生對加法運算出錯率低，因此筆者在教學中，主要把解三元一次方程組的重點放在了用加法消元上，運用如下遞進式變式題組進行教學.

方程組中未知數的系數特點，一個方程的未知數z的系數與另外兩個方程中未知數z的系數是互為相反數，因此用加法就能消去未知數z，把方程組轉化為二元一次方程組.

觀察方程組中未知數系數特點，不存在一個未知數的系數與另外兩個方程中同一未知數系數是互為相反數，但是把方程（3）乘以2就可與（1）相加消去y，再（2）+（3）消去y，從而通過兩次相加，消去未知數y，把三元一次方程組轉化為二元一次方程組.

觀察方程組中方程未知數系數特點，不存在有未知數的系數是互為相反數的，這時通過觀察方程組中未知數系數的特點，首先把方程（1）乘以3，方程（2）乘以6，方程（3）乘以2，把方程組轉化為例題的類型，從而使問題得到解決，也可以把（2）乘以2，把方程組轉化成變式題（1）的類型，再解.

三道題不是簡單的重復，彼此之間有密切的聯系，前一個問題是后一個問題的特殊情況，后一個問題可轉化成前一個問題類型進行解決，這樣的遞進式變式題組能與學生的數學認知結構相聯系，前一個問題解決后，在此基礎上進行新的建構，學生的數學認知結構經歷了從簡單到復雜不斷擴充的過程，符合學生認知規律，從而使學生能夠很好地掌握三元一次方程組的解法.

二、探究規律建構數學認知結構

規律是事物發展過程中本身所固有的必然聯系.規律是客觀存在的，是不以人們的意志為轉移的，人們只能發現規律，利用規律，不能改變規律.蘇霍姆林斯基說“人的內心里有一種根深蒂固的需要，總想感到自己是發現者、研究者、探尋者”.數學教學中有很多規律需要學生去探究，教學中要鼓勵學生去探究規律并掌握規律，教師要為學生的學習創設探究情境，建立探究的氛圍，促進探究的開展，把握探究的深度，這樣才能調動學生探究的積極性，激活學生探究的潛能，以尋到規律.

例如：同底數冪乘法法則的探究過程，給出如下遞進式變式題組，以使學生自主探究規律.

顯然（1）是底數、指數都是具體數，學生很容易利用乘方的意義得到問題的答案.接下來（2）（3），在（1）的基礎上，（2）把底數由具體數變成了字母，（3）把指數由具體數變成了字母.（4）是在（2）（3）的基礎上，把底數、指數都變成了字母，得到了一個一般的同底數冪乘法的規律.在以上探究過程中，充分運用遞進式變式題組，由特殊到一般地進行探究，使學生跳一跳就能摘到果子，從而使學生能夠順利地得到乘法法則，同時建構數學認知結構.

三、搭“引橋”建構數學認知結構

數學教學中，很多新知識的學習，往往不能和學生的數學認知結構直接相聯系.教師在教學新知識時，如果直接把新知識呈現在學生面前，學生要改組原有的數學認知結構，順應新知識的學習，產生新的數學認知結構，這樣給學生的學習帶來一定的困難，學生很難理解，不符合學生的認知規律.因此教學中要充分利用遞進式變式題組，小步走，螺旋式上升，從簡單的問題入手，通過遞進式變式，最后解決問題的一般情況，從而總結出問題的一般規律.這樣能夠使學生原來以順應為主建構數學認知結構，轉化為以同化為主建構數學認知結構，從而使學生能夠順利地掌握新知識.

例如：在學習二次函數的圖像與性質時，我們首先研究的是特殊類型二次函數y=ax2的圖像和性質.顯然這個函數的圖像與性質與學生原有的數學認知結構距離很小，學生學習起來比較容易，學生也很容易利用描點法畫出這類二次函數的圖像，進而通過總結得到這類二次函數的圖像和性質.在此基礎上我們又研究了y=ax2+c類二次函數的圖像和性質，顯然y=ax2是y=ax2+c的特殊情況，y=ax2+c是y=ax2的進一步推廣，通過研究得到了y=ax2+c圖像與性質，同時得到了二次函數y=ax2+c與y=ax2兩種類型圖像的關系.在此基礎上，我們又研究了y=a（x+m）2類型二次函數的圖像與性質，顯然這種類型二次函數是y=ax2的推廣，通過對比得到二次函數y=a（x+m）2的圖像和性質，以及與二次函數是y=ax2的圖像的關系.最后研究一般二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質，通過把二次函數配方轉化為y=a（x+m）2+k的形式，再把二次函數y=ax2+c與y=a（x+m）2組合得到一般二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質.

以上顯然是由簡單到復雜的一個遞進式變化過程，通過y=ax2圖像與性質入手，最后得到一般二次函數的圖像與性質.在數學教學的過程中，有些知識與學生的原有的數學認知結構有一定的跨度，這時，教師在教學設計上，利用搭引橋的策略，才能使學生一步一個臺階，把新知識同化到原有的數學認知結構中去，認知過程如下.

四、構造問題鏈建構數學認知結構

問題鏈是指問題與問題的精心連接與遞進.它將問題像“鏈條”一樣串聯起來，環環緊扣，層層遞進.能覆蓋重要的知識點、基本題型、重要的解題思路.教學中隨著“問題鏈”的逐一呈現，學生在不知不覺中既解決了問題，又獲得了知識，又提高了數學思維能力.

例2 求證：順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.

變式1.求證：順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形.

變式2.求證：順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形.

變式3.求證：順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是正方形.

通過這樣一系列變式訓練，一是使學生充分掌握了四邊形這一章節所有基礎知識和基本概念，強化溝通了常見特殊四邊形的性質定理、判定定理、三角形中位線定理等，最大限度地拓展了學生的解題思路，激活了學生的思維，激發了興趣.二是能夠使學生懂其原理，知其方法，通其變化，形成此類命題的命題域與命題系，進而使學生形成良好的CPFS結構，而研究表明，良好的CPFS結構是一種優良的數學認知結構，因此有利于學生建立良好的數學認知結構.

總之，在教學過程中要針對教學內容的特點，優化應用遞進式變式題組，才能達到非常理想的教學效果.另外對遞進式變式題組的設計，要依據學生的數學認知結構和認知發展水平，從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，巧妙設計，才能創設最佳的認知情境，才能讓學生利用已有的知識結構來同化新知識，實現知識的遷移，從而提高遞進式變式題組應用的有效性.

1.劉海濤.初中數學教學中變式題的應用技巧［J］.上海市：上海中學數學.2011（5）.

2.曹一鳴，張春生主編.數學教學論.北京市：北京師范大學出版社［M］.2010（8）.

3.張英伯，曹一鳴，叢書主編，喻平編著.數學教學心理學.北京市：北京師范大學出版社［M］.2010（1）.