關(guān)于三角形“四心”距離的討論

☉石河子大學(xué)師范學(xué)院課程與教學(xué)系 劉 超

三角形的“四心”即重心、垂心、內(nèi)心和外心.通過查閱近幾年中學(xué)數(shù)學(xué)類雜志刊發(fā)的有關(guān)三角形“四心”的論文資料發(fā)現(xiàn)，已有的關(guān)于三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文擬在已有研究的基礎(chǔ)上，探討三角形“四心”的距離問題.

不失一般性，假設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r.記△ABC的周長的一半為s，△ABC的面積為Q，用點(diǎn)I，O，G，H分別表示△ABC的內(nèi)心、外心、重心、垂心.以上述條件為基礎(chǔ)，我們來分別求OI，OG，HI，GI，即“四心”之間的距離，并探討其應(yīng)用.

首先證明在求“四心”距離時(shí)要用到的兩個(gè)恒等式.

證明：

在此基礎(chǔ)上，給出“四心”之間的距離.

（1）外心與內(nèi)心之間的距離.

如圖1所示，設(shè)OI=d，由∠AIF=α+β=∠FAI，得AF=IF.由

（2）外心與重心之間的距離.

如圖1所示，

（3）內(nèi)心與垂心之間的距離.

（4）重心與內(nèi)心之間的距離.

如圖1所示，