因式分解總復習

☉海南華僑初級中學 王明照

因式分解的基本方法有提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法及其他方法；因式分解的步驟常常用口訣表述為“一提二套三分組四其他”，也就是說，先看是否有公因式，再看能否套公式，若所給式子有四、五項的就要分組，這些方法都無法解決就要采用一些特殊技巧如添項、分拆、重組等.還常常要進行一些恰當的變形，使多項式達到分解要求.本文圍繞2011年全國各個省市考試題為例介紹一下這些常見的因式分解方法及小技巧.需要說明的是，要想熟練掌握這些基礎知識和技巧，還需要同學們通過平時練習去體驗我們所講的方法和技巧.

一、因式分解的概念

把一個多項式化成幾個整式積的形式叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解是整式乘法的逆向變形.

注意：（1）分解因式要分解到不能分解為止；（2）結果中有相同因式時要寫成冪的形式.

二、因式分解的方法

1.提公因式法：多項式=公因式×（原多項式除以公因式所得的商）.

提公因式法的步驟：

第一步：正確找出公因式（①多項式各項系數都是整數時，公因式的系數是各系數的最大公約數；②字母取各項的相同的字母；③相同字母的指數取最低次數）.

第二步：提出公因式并確定另一個因式，將結果寫成積的形式.

2.運用公式法：把乘法公式反過來，就可以把多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.

（1）平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）

公式特點：左邊是二項式，是兩個數的平方差，右邊是這兩個數的和與差的積.

（2）完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2

公式特點：左邊是三項式，是兩個數的平方和與這兩個數的積的兩倍的和或差；右邊是這兩個數的和或差的平方.

注意：①完全平方公式中，中間項是兩個數的積的2倍，其符號決定是和的平方還是差的平方.

②公式中的兩個數可以是單項式，也可以是多項式.

3.十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）.

所以x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.關鍵要根據一次項系數把常數項分解.

4.分組分解法：把多項式進行適當的分組，分組后能夠有公因式或運用公式，這樣的因式分解方法叫做分組分解法.

分組的原則——有公因式提取或可運用公式.

分組分解的目的是最終達到整體多項式因式分解，要求分組后可直接提取公因式或可直接運用公式，但必須使各組之間能提公因式或運用公式繼續(xù)分解.

應注意：

（1）要注意分解因式的對象是整式，不是整式不能分解因式.

（2）不要因式分解后又乘回來.

（3）注意分解一定要徹底.

（4）因式分解的結果是幾個因式的積，而不是把多項式其中某幾項化為積的形式.

（5）因式分解的結果能寫成冪的形式就應寫成冪的形式.

三、典型例題

類型一：考查因式分解的定義.

例1（遼寧鞍山3分）下列因式分解正確的是______.

A.x3-x＝x（x2-1） B.x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2

C.x2-y2＝（x-y）2D.x2＋2x＋1＝（x＋1）2

答案：D.

考點：因式分解的定義，平方差公式.

分析：把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.注意三原則：分解要徹底，最后結果只有小括號，最后結果中多項式首項系數為正.據此有：

A.x3-x＝x（x2-1），分解不徹底，選項錯誤；B.x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2，不符合結果為最簡整式的積的定義，選項錯誤；C.x2-y2＝（xy）2，平方差公式應用錯誤，選項錯誤；D.x2＋2x＋1＝（x＋1）2，選項正確.故選D.

類型二：考查運用提公因式法因式分解.

例2 （廣西來賓3分）分解因式：1-x2=______.

答案：（1+x）（1-x）.

分析：因式1-x2中，可知是二項式，沒有公因式，直接用平方差公式分解即可：1-x2=（1+x）（1-x）.

例3 （重慶江津4分）分解因式：2x3-x2=______.

答案：x2（2x-1）.

分析：觀察等式的右邊，提取公因式x2即可求得答案.

類型三：考查運用平方差公式因式分解.

例4 （海南3分）分解因式x2-4=______.

答案：（x+2）（x-2）.

分析：利用平方差公式直接分解：x2-4=（x+2）（x-2）.

例5（湖南懷化3分）因式分解：a2-9=______

答案：（a+3）（a-3）.

分析：利用平方差公式直接分解：a2-9=（a+3）（a-3）.

類型四：考查運用完全平方公式對多項式進行因式分解.

例6 （山東濟南3分）分解因式：a2-6a+9＝______.

答案：（a-3）2.

分析：本題是一個二次三項式，且a2和9分別是a和3的平方，6a是它們二者積的兩倍，符合完全平方公式的結構特點，因此用完全平方公式進行因式分解：a2-6a+9=（a-3）2.

例7 （山東威海3分）分解因式：16-8（x-y）＋（x-y）2=______.

答案：（x-y-4）2.

考點：完全平方公式，代數式代換.

分析：因為16-8m＋m2=（m-4）2，所以令m=x-y得16-8（x-y）＋（x-y）2=（x-y-4）2.

類型五：綜合運用提公因式以及平方差公式進行因式分解.

例8 （廣西玉林、防城港3分）分解因式：9a-a3=______.

答案：a（3+a）（3-a）.

分析：根據提取公因式法和應用公式法分解因式：9a-a3=a（9-a2）=a（3+a）（3-a）.

例9 （江蘇南通3分）分解因式：3m（2x-y）2-3mn2＝______.

答案：3m（2x-y+n）（2x-y-n）.

分析：3m（2x-y）2-3mn2=3m［（2x-y）2-n2］=3m（2x-y+n）（2xy-n）.

例10 （山東萊蕪4分）分解因式：（a+b）3-4（a+b）=______.

答案：（a+b）（a+b+2）（a+b-2）.

分析：（a+b）3-4（a+b）=（a+b）［（a+b）2-4］=（a+b）（a+b+2）（a+b-2）

類型六：綜合運用提公因式以及完全平方公式進行因式分解.

例11 （江蘇揚州3分）因式分解：x3-4x2+4x=______.

答案：x（x-2）2.

分析：應用提取公因式法和應用公式法因式分解：x3-4x2+4x=x（x2-4x+4）=x（x-2）2.

例12 （山東東營4分）分解因式：x2y-2xy+y=______.

答案：y（x-1）2.

分析：x2y-2xy+y=y（x2-2x+1）=y（x-1）2.

例13 因式分解：3a+12a2+12a3=______.

答案：3a（1+2a）2.

分析：先提取公因式3a，再根據完全平方公式進行二次分解：

3a+12a2+12a3=3a（1+4a+4a2）=3a（1+2a）2.

類型七：綜合運用平方差公式以及完全平方公式進行因式分解.

例14 （湖南岳陽3分）分解因式：a4-1=______.

答案：（a2+1）（a+1）（a-1）.

分析：運用平方差公式進行兩次分解即可：a4-1=（a2+1）（a2-1）=（a2+1）（a+1）（a-1）.

類型八：運用分組分解法進行因式分解.

例15 （山東濰坊3分）分解因式：a3+a2-a-1=______.

答案：（a+1）2（a-1）.

考點：分組分解法因式分解，提取公因式，平方差公式.

分析：當被分解的式子是四項時，應考慮運用分組分解法進行分解.本題應采用兩兩分組，然后提取公因式（a-1）得a3+a2-a-1=a2（a+1）-（a+1）=（a+1）（a2-1）=（a+1）2（a-1）.

例16（四川遂寧4分）閱讀下列文字與例題：

將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.

試用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=______.

答案：（a+b）（a+b+c）.

分 析 ：a2+2ab+ac+bc+b2=a2+2ab+b2+ac+bc=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）.

類型九：運用十字相乘法因式分解.

例17 （貴州黔東南4分）分解因式：x2-2x-8=______.

答案：（x+2）（x-4）.

分析：根據一次項系數為-2，所以-8分解為2和-4相乘，x2可分解為兩個x相乘，交叉乘后一相加剛好是-2x，所以根據十字相乘法可分解為（x+2）（x-4）.

也可以利用配方法把這個多項式配成兩個式子的平方之差的形式，然后利用平方差公式因式分解.

類型十：求代數式的值.

例18 （甘肅天水4分）若x＋y=3，xy=1，則x2＋y2=______.

答案：7.

考點：求代數式的值，完全平方公式.

分析：將所求的式子配成完全平方公式，然后將x+y和xy的值整體代入求解：

類型十一：綜合題.

例19 （廣東廣州10分）分解因式：8（x2-2y2）-x（7x＋y）＋xy.

答案：原式＝8x2-16y2-7x2-xy＋xy＝x2-16y2＝（x＋4y）（x-4y）.

考點：整式的混合運算，運用公式法因式分解.

分析：首先利用多項式乘以多項式法則進行化簡，正好符合平方差公式，再運用公式法分解因式即可解答.

練習題：

1.（m+n）（x-y）+（m-n）（y-x）

2.4x2-12xy+9y2

3.x4-y4

4.a（a+2）+b（b+2）+2ab

5.x2+4x-12

6.（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1

點評：因式分解在各省市中考試卷中大多數是選擇、填空題，十字相乘法和分組分解法考得比較少，主要以提公因式法和公式法的綜合運用為主，所以在復習時應重點練習用這三種方法.