中考數學組合型開放題探析

☉江蘇省靖江市第三中學 沙詠蕾

“體現新課標，提供新材料，追求新創意，提出新問題”是近年各省市中考數學命題的新特征.組合型開放題因能較好地反映這些新特征而備受命題者的青睞.所謂組合型填空題，就是給出若干個論斷要求學生將其重新組合，使其構成符合題意的命題.解這類題，要求學生對所學的知識點間的關系有一個透徹的理解和掌握，通過對題目的閱讀、理解、分析、比較、綜合、抽象和概括，用歸納、演繹、類比等推理方法準確地闡述自己的觀點，理清思路，進而完成組合順序.這種組合型開放題，已使幾何的論證轉向發現、猜想和探究，從而促進學生生動活潑、主動的學習，并使中考試題充滿活力和魅力，它對今后的課程改革將起著一個良好的導向作用.

下面從近幾年的中考試卷中擷取幾例，加以分析，供讀者參考.

例1 如圖1，在△ABD和△ACE中，有下列四個論斷：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE.請以其中的三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出一個真命題是____（用序號的形式寫出）.

答案：可以構成四個命題：①②③?④；①③④?②；①②④?③；②③④?①.其中兩個是正確的，兩個是錯誤的，填寫一個正確的命題是：①③④?②（或①②④?③）.

例2 如圖2，四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE，給出下列五個關系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB.將其中的三個關系式作為題設，另外兩個作為結論，構成一個命題.

（1）用序號寫出一個真命題（書寫形式為：如果×××，那么××），并給出證明；

（2）用序號再寫出三個真命題（不要求證明）；

（3）加分題：真命題不止以上四個，想一想，就能夠多寫出幾個真命題，每多寫出一個真命題就給你加1分，最多加2分.

評析：本題是一道條件和結論都開放的綜合型組合題，充分考查了學生對幾何知識點的整合能力，洞察能力和證明過程的嚴密性.解答此題既是一個再學習的過程、一個探索的過程、一個用數學的過程，又是學生展示能力和實力的過程，它對學生能力要求較高.第（3）小題實行了評分標準的開放性，極大地鼓舞了學生去勇于探索，不斷創新.

本試題的條件和結論的開放，評分標準的開放，體現了課程標準的基本理念：“不同的人在數學上得到不同的發展.”實現了“課標”所提出的評價理念：“評價的手段和形式應多樣化”，要充分“發揮評價的激勵作用”，鼓勵學生進行探索，產生更具創意的結果，讓學生有更多的發展.

解答：（1）從條件①、②、③、④、⑤中選取3個作題設，另外2個作結論，構成一個真命題，經嘗試、探索可得：如果①②③，那么④⑤.

證明：如圖3，延長AE交BC的延長線于F.

因AD∥BC，故∠1=∠F.

又∠AED=∠CEF，DE=CE，所以△ADE≌△FCE，AD=CF，AE=EF.

因∠1=∠F，∠1=∠2，故∠2=∠F，AB=BF.

因AB=BC+CF=BC+AD，即⑤成立.

故AE=FE，∠2=∠F，AB=BF，所以△ABE≌△FBE.

故∠3=∠4，即④成立.

（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①③⑤，那么②④.

（3）本小題答案不唯一，寫出的命題為真命題的還有：如果①②⑤，那么③④；如果②④⑤，那么①③等.

例3 如圖4，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結論，推出一個正確命題.（只需寫出一種情況）

①AE=AD，②AB=AC，③OB=OC，④∠B=∠C.

評析：本題是以學生常見的基本圖形為載體，把傳統的幾何證明題，設計成一個要求學生發現、猜想、證明的組合開放題，讓學生通過觀察——發現的思維過程，自主探索，發現有意義的結論，積極創設思考空間，增強了學生的創新意識，養成了學生“觀察——猜想——驗證”正確的科學態度.

解答：本題的答案不唯一，正確的命題有：①②?③；①②?④；①④?②；①④?③；③④?①；③④?②；②④?①；②④?③共8個命題，從中任選一個證明即可.例如，證明命題①②?④.

“不同的人在數學上得到不同的發展”，組合型開放題因能充分體現這一新課程理念而成為最近幾年中考命題的一道亮麗的風景線.它改變了過去直接給出結論，讓考生去證明的固定的模式，激活了考生的思維.它啟迪了我們：數學學習不僅要學習知識和方法，更要勤于思考，多探究，關注“過程”，從而體驗創造的樂趣，做學習的主人.