盤點近幾年中考中與線段相關的一類最值問題

☉浙江省上虞市竺可楨中學 徐 駿

近年來，與線段相關的一類最值問題在各地市中考試卷中大量涌現，并成為近幾年中考的熱點題型之一.這類問題對知識和技能要求較高，能夠考查學生分析問題和解決問題的能力與創新意識.解決此類問題主要借助以下3個知識點：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；（3）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.筆者結合近幾年中考數學試題，對于常見的線段最值問題，歸納為以下幾大塊，以幫助學生掌握這類問題的求解方法.

1.一條線段的最值問題

1.1 求一條線段的最大值

例1 如圖1，邊長為a的正三角形ABC，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，則OC的長的最大值是_______.

1.2 求一條線段的最小值

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內，過點P作⊙O的切線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B.點P在運動時，線段AB的長度也在發生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由.

分析 連接OP（如圖4），因為AB切⊙O于P，所以OP⊥AB.取AB的中點C，則AB=2OC.當OC=OP時，OC最短，即AB最短，此時AB=4，所以線段AB長度的最小值為4.

例3 如圖5，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點E，F，則線段EF長度的最小值是（ ）.

分析 設M（a，b），則ab=-1.由（a+b）2=a2+2ab+b2≥0，得a2+b2≥-2ab=2.由中心對稱性知，MN=2OM=2，所以線段MN的長的最小值

2.兩條線段的最值問題

2.1 求兩條線段和的最小值

例5 如圖8，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是_______.

分析 如圖9，作點N關于直線AD的對稱點N′，連接BN′，則BM+MN=BN′的值最小.過點B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，BE=AB·sin45°=4.當BN′=BE時，BN′最短，即BM+MN的值最小，所以BM+MN的最小值是4.

2.2 求兩條線段差的最大值

例6已知：如圖10，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO.已知點B與點D在經過原點的拋物線上，試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得TO-TB的值最大.

3.三條線段的最值問題

例7 如圖12，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由.

分析 如圖13，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小.理由如下：連接MN，由∠MBN=60°，BM=BN知，△BMN是等邊三角形，則BM=MN.易證△ABM≌△EBN，則AM=EN.根據“兩點之間線段最短”，得AM+BM+CM=EN+MN+CM=EC最短，所以當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長.

4.三角形周長的最值問題

5.四邊形周長的最值問題

例9 如圖16，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是_______.

例10 如圖18，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系.已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處.在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.

分析 存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小.理由如下：如圖19，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于一點，則這兩點分別為所求點M、N，使四邊形MNFE的周長最小.而E′（3，-1）、F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′，所以BF′=4，BE′=3，所以FN+NM+ME=FN+NM+ME′=F′E′=

6.幾何體側面上的一類最值問題

例11 如圖20，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要____cm；如果從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B，那么所用細線最短需要________cm.

分析 長方體的側面展開圖是一個長為8cm，寬為6cm的矩形.如圖21，如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要需要4cm；依次類推，如果從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B，那么所用細線最短需要n

例12 問題探究：

（3）如圖27所示，在（2）的條件下，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程.