淺析平面內常見曲線定義及性質的應用

☉陜西省米脂縣米脂中學 常 瑩

平面內常見曲線有：線段的垂直平分線，角平分線，圓及圓錐曲線等.他們的定義分別如下：

（1）線段的垂直平分線是平面內到兩定點的距離相等的點的軌跡.

（2）角平分線是平面內到角兩邊距離相等的點的軌跡.

（3）圓是平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡.

（4）圓錐曲線是平面內到一定點的距離和一條定直線的距離（定點不在定直線上）的比是一個常數e的點的軌跡.如果0＜e＜1，則曲線是橢圓；如果e=1，則曲線是拋物線；如果e＞1，則曲線是雙曲線.另外橢圓還可以這樣定義：平面內到兩定點F1、F2的距離的和等于常數2a（2a＞|F1F2|）的點的軌跡；雙曲線還可以這樣定義：平面內到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數2a（2a＜|F1F2|）的點的軌跡.

下面就本人在教學中一些體會，談一談平面內常見曲線的定義及性質的應用.

一、利用常見曲線定義及性質求曲線的軌跡

例1 已知點A是定圓C內一定點，點M是圓C上任意一動點，線段AM的中垂線與直線MC相交與點N，試求動點N的軌跡.

解析：由點N在線段AM的中垂線上，知|NM|=|NA|.

而|NM|=|CM|-|CN|，則|NA|=|CM|-|CN|，故|NA|+|CN|=|CM|.

點A是定圓C內一定點，點M是圓C上任意一動點.

|AC|、|CM|都是定值，且|AC|＜|CM|，則動點N的軌跡是以A、C為焦點，以定圓的半徑為長軸長的橢圓.

二、利用常見曲線定義及性質求值

三、利用常見曲線定義及性質求最值

（2）由|PF1|+|PF2|=2a=20，得|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20.

—的延長線與橢圓的交點時，右邊“=”成立.

故|PM|+|PF2|的最小值為10，最大值為30.