淺談數學解題反思的多重視角

成 霞

（南通中學，江蘇 南通 226001）

淺談數學解題反思的多重視角

成 霞

（南通中學，江蘇 南通 226001）

數學解題反思的初期，主要是指解題后對解題過程的反思。其實，解題反思不僅僅是解題之后的重要環節，而且更是對整個解題活動深層次的思考，是再發現、再創造的過程。數學解題反思一般是從以下五個角度進行。

一、對審題的反思

很多學生解題時，存在一個問題，即草讀一遍題目以后就盲目動手，不能做到正確的讀題，審題。具體表現為，審題不明確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周，從而導致學生解題出錯。

在此題中，“存在”一詞容易被忽略，學生往往當成“任意”來解決，也就是說，學生容易將“存在性問題”混淆為“恒成立問題”，所以，學生對審題的反思是必不可少的。學生在對審題的反思中，也可以試著站在命題者的角度，揣摩命題者的意圖，并試著自己逐個對條件的缺失加以分析，看看每個條件在解題中所充當的角色，這樣就可以在面對新的問題時能夠迅速地知因求果。

二、對解題思維過程的反思

學生解題基本完成后，對思維過程應進行“查漏補缺”，以使解題思維完整、全面、嚴謹。這樣可達到排除疏忽之處，特別針對某些公式、定理等的適用范圍是很有效的。比如，對“分母為零無意義”而言，出現了很多問題，如斜率，等比數列的前n項和，其實有時無意義也是一種意義。

若以特殊f（0）=0代入求解，其實思維是欠缺嚴謹的。奇函數只有在0處有定義時，才可以使用特殊的f（0）=0。而本題有可能在0處是無定義的，因而這樣可能會漏解。臆造“定理”，判斷無據，以日常概念代替科學概念是不嚴謹的。解題中受到題目中某些強勢信息的主導和干擾，不能夠周密地考慮問題，使解題過程偏離方向，造成誤解。學生對解題思維過程進行反思，能及時修正錯誤，確保解題的合理性和正確性。

三、對解題方法的反思

高中數學知識縱橫捭闔，題中可能存有代數、幾何、三角的有機聯系，每道題都可能有著靈活多變的解題思路，形態各異的解題方法，但最終卻條條大路通羅馬，殊途同歸。學生所面對問題，條件反射出來的解題思路方法不一定就是最優的解法。教師應引領學生深入反思，回味尋求一題多解的發散思維，探究多題一解方法歸一的問題，開拓思路，溝通知識，掌握規律，優選解法，使學生可以高屋建瓴地面對其他的問題。

還以例2來說明這個問題。選擇f（0）=0，究其原因，比起利用定義f（-x）+f（x）=0去求解，確實簡單，但是后者卻為通法。那么我們是否可以反思，前一種方法是否可以拓展一番，將其不嚴謹之處變嚴謹呢？細想之下，就會找到出路，可分類討論。其一：當0在定義域內時，可以使用f（0）=0；其二，當0不在定義域內時，那說明當x=0時，解析式無意義，那么不是同樣可以建立等式嗎？這樣的反思令人豁然開朗。在解完題應注意進一步探討，反思本題有無其他可行的解題方案方法，有無規律，在橫向聯系中歸納優化思維的經驗和規律。由于在這個探索中體現了“創新”的精神，可以有效地提高學生解題的能力和水平。數學問題是形式多樣的，有些題的形式雖然不一樣，但也可歸結到一種題型上去，教師通過一道題的教學，幫助學生做到會解同一類題。所以，學生解題后要反思題目實質，并進行歸類，總結通解通法。在此基礎上，如果有更方便的個性解法，就可優先使用該法。另外，學生對于解題方法反思的同時，還可以在思考解題過程中是否浪費了其他重要的信息，能否開辟新的解題通道？解題過程多走了哪些思維回路，思維、運算能否變得簡捷？是否拘泥于思維定勢，照搬了熟悉的解法？通過這樣不斷地質疑、不斷改進，讓學生解題過程更具有合理性、科學性、簡捷性。但前提還是立足于通法通性的研究。有些數學問題具有一定的迷惑性，學生如果概念不清、見識不廣，就容易混淆，錯誤地將不同問題混為一談了。所以通過反思形相似，但質不同的題目，能夠提高學生的辨別能力，避免錯解的發生，這是一種總結性的反思。

四、對有聯系問題的反思

教學中，教師要引領學生不斷地去探究問題的知識結構和系統性，正如探究幾何中“點、線、面”的關系一樣，“點”是指每個問題所包含的一些知識點；“線”是指將這個問題中的知識點拉長拉深，加大思維的深度；“面”是指將這些知識點系統有機地整合。這樣可以不斷完善學生的數學知識結構。

本題從方法的聯系上可以反思良多：未知數可以選擇線段的長、傾斜角、斜率、坐標等。這些不一樣的設法會采用不同的函數去研究最值。而從問題的聯系上，可以試著去探索求△ABC面積的最值，周長的最值。很多看似孤立不相關的問題間卻恰恰蘊藏著內在的聯系。透過現象看本質，尋求問題間的本質聯系，在這個問題的啟發下，整合數學思想方法，一脈相承地去思考新的問題，甚至創造性地設置問題，在豐富不斷的知識聯系與整合中，體會到“新”的誕生，“創造”的魅力。而反思問題的本質，在知識聯系中使問題逐漸深化。反思問題的拓展延伸，直接可以培養學生的問題意識與探究能力。

五、對所涉知識的反思

教學中，教師要幫助學生反思在解題中是否忽略了其他方面的知識，要反思對所涉及的知識是否有新的認識，要反思原有的認識有何缺陷，該怎樣補救或“更新”。這樣，學生才能更加深刻地理解知識，從而提高自我反饋、自我補救、自我總結的自主學習能力。

在試圖利用雙曲線的第二定義求解失敗后，很多學生甚至懷疑題目的可行性，但其實是學生對所學的知識出現了盲點。當學生看到雙曲線上一點到焦點的距離，不僅要聯想到準線的距離，也要聯想到和另一焦點的距離，靈活地使用雙曲線第一、第二定義。整個問題也可以從結論出發，返璞歸真，聯想到三角形兩邊之和大于第三邊及三點共線的特例，由此打開了解題的思路。點滴的發現，都能喚起學生的成就感，激發學生進一步探索問題的興趣。長期的積累，更有利于促進學生認知結構的個性特征的形成，并增加知識的存儲量。在不斷的反思后，學生才會在面對新的問題時做到“胸中有丘壑”。

波利亞曾指出，“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”。所以，反思在數學學習的過程中時刻都是必要的。

（責任編輯：張華偉）