淺談學生數學思維品質的缺失及完善

劉長偉

（蘇州市高新區吳縣中學，江蘇 蘇州 215151）

淺談學生數學思維品質的缺失及完善

劉長偉

（蘇州市高新區吳縣中學，江蘇 蘇州 215151）

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，具有嚴密的符號體系、獨特的公式結構、形象的圖像語言，它對培養學生思維品質的作用無可替代的。但在常規教學中，常常會發現學生做的題總是會出現這樣或那樣的錯誤，究其原因就是學生的優良思維品質欠缺所導致的結果。教學中，教師若能針對學生在易出錯的地方進行分析歸納，找出其錯誤的根源，然后再利用學生的“錯誤”資源進行教學，無論是對教師本人的成長還是學生的思維品質的完善都是非常有意義的，下面就學生經常出現的典型錯誤進行分析，窺探一下學生在解決數學問題過程中優良思維品質的缺失現象，以便為其在以后的學習中有所借鑒。

一、對概念本質的理解缺乏深刻性

李邦河院士在一次報告中談到一個重要的思想：數學玩的是概念，而不是純粹的技巧。因為中小學數學里面的概念比較少，所以就在一些難題、技巧上下功夫，這恰恰是舍本逐末的做法，可見概念教學對學生的發展是多么的重要。

（1）在線段BC上任取點M，求BM＜1的概率；

（2）在∠BAC內作射線AM交BC于M，求BM＜1的概率．

[評注]教師在講解一個新概念時，千萬不要直接把概念、方法告訴學生，而是在教師的啟發引導下， 讓學生質疑、發現、探究、歸納、判斷、概括新概念， 教會學生自己去建構，之后在實際應用中再讓學生去感受概念的內涵，理解概念的本質，這樣就會減少學生對概念本質理解不清的錯誤。

二、對數學思想的運用缺少靈活性

數學思想是數學知識的本質，是數學的靈魂，對數學的解題在宏觀上有指導作用，但同一種思想在不同的背景，不同的條件下，不同的問題中其結論總會有所變化，同學們往往忽視了這種變化，還在套用前面的方法和經驗，這樣就難免會出錯。

例2 已知數列{an}的通項公式an=n2+kn+2，若對n∈N*，有an+1＞an成立，則實數k的取值范圍是_____

自從有了小弟，我們家增添了許多歡聲笑語。我喜歡給他喂飯，看他一口接一口香香地吃著，心里美滋滋的。我喜歡和他一起洗澡，看他笨手笨腳去爬海洋球的池子，可愛極了！我喜歡和他一起玩滑滑梯，看他從滑梯上滑下來那股高興勁兒，我比他還要開心！也不知道為什么會這樣，大概跟他在一起時，我也覺得自己變小了、可以無憂無慮了吧。

[錯解分析] 上面的轉化其實并不等價，學生錯把函數的單調性等價于數列的單調性，其實不然。

[評注] 數學思想是數學教學的核心和精髓，教師在講授數學問題時應該努力反映和體現數學思想，讓學生體會和領悟數學思想，提高學生的數學素養．但一定要讓學生領會數學思想的精神實質，一定不要照搬照抄，要做到活靈活用。

三、忽略公式成立的條件，對數學性質的把握缺少嚴密性

學生剛剛學完一個公式或一條性質，難以抑制心中的興奮，因為有了這個公式和這條性質，心中的那份“疑惑”或“難點”已經不復存在了，興奮之余難免會“丟三落四”。

[錯因分析]上面的做法顯然忽視了運用基本不等式需滿足的三個條件，一“正”二“定”三“相等”，其中“相等”是取等號的條件。

正解由奇函數的定義可知，在定義域內，f（-x）=-f（x）恒成立，化簡得（k2-1）·4x=0

上式恒成立，∴k2-1=0，∴k=±1。

[評注]數學公式及數學性質揭示了數學知識的基本規律，具有一定的形式符號化的抽象性和概括性的特征，牢固掌握并能靈活運用數學公式是提高數學能力的重要前提，因此公式的教學十分重要，一定不要陷入“一背二套三運用”的教學模式，而要像概念教學一樣，讓學生自己去發現、探究、歸納、概括、在運用中反思、完善，教會學生自己去建構，最終納入學生的知識體系。

四、忽略題中隱含條件或轉化的等價性，缺乏思維的嚴謹性

這是學生在解決數學題時常常容易忽略的一個問題，從側面也反映了學生在解決問題時嚴謹性的缺失，數學思維的嚴謹性是一種很重要的思維品質，教師在平時教學中應該注意對學生思維嚴謹性的培養。

例4（1）如果圓x2+y2+k2x+y-k=0關于直線y=x對稱，求參數k的值。

[錯解分析]此題學生忽略了圓的一般方程成立的隱含條件 D2+E2-4F＞0。當 k=-1時，D2+E2-4F=-2＜0 不合題意，而當k=1時，D2+E2-4F=6＞0符合題意。因此正確答案是k=1。

[評注]轉化思想是一種很重要的數學思想，但轉化的前提是新的問題要與原有的問題具有等價性。因此在轉化時一定要注意問題中的條件，同學們往往忽視了這個條件，就破壞了問題中的等價性，因而造成解題錯誤。

五、以特殊代替一般，缺乏思維的批判性及思維結構的完善性

由特殊到一般，又由一般到特殊是人類認識客觀事物的兩個過程，兩個過程相互依賴、互為補充的，而有時同學們在解決問題時，常常以特殊的結論代替了一般性的結論，邏輯上犯了”以偏概全“的錯誤。

[錯解分析]上面將k取兩個特殊值確定出等差數列的首項和公差，但沒有認識到求出的等差數列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是已知條件成立的充分條件，還需進一步地由特殊到一般。

正解：由 a1=a21，得 a1=0或 a1=1。

當 a1=0，可得 d=0 或 d=6，（ⅰ）若 a1=0，d=0，則 an=0，從而 SK2=（SK）2成立；（ⅱ）若 a1=0，d=6，則 an=6n-6，可以驗證，所以不滿足 SK2=（SK）2。當 a1=1，可得 d=0 或 d=2（ⅰ） 若 a1=1，d=0，則 an=1，Sn=n 從而 SK2=（SK）2成立；（ⅱ）若 a1=1，d=2 則 an=2n-1，Sn=n2，滿足 SK2=（SK）2。

綜上，滿足條件的無窮等差數列有3個。（1）an=0，即 0，0，0，…（2），即 1，1，1，…

（3）an=2n-1 即 1，3，5…

[評注]批判性思維是以一般性思維能力（如比較、分類、分析、綜合、抽象和概括等）為基礎，同時還具有自己的獨特性，批判性思維是指對所學的東西的真實性、精確性、性質進行個人的判斷。如果說創造性思維是所謂的多謀，那么批判性思維就是所謂的善斷。學生在學習過程中若能經常自覺地進行批判性的思維，對在解決問題中經常出現的認知性錯誤、邏輯性錯誤，、習慣性錯誤、策略性錯誤及心理性錯誤都會進行有效的遏制。

通過上面的一些典型錯例的糾錯分析來看，學生優良思維品質地養成教育，對提高學生分析問題及解決問題的能力至關重要，因此糾正“錯誤”應該成為教師很重要的一個課程資源。“錯誤”資源利用的好，它可以是強化概念、法則、公式、定理的有力工具，不但使學生達到對概念、法則與定理的透徹理解、鞏固知識以致靈活運用的目的，還可以激活學生的創新思維，激發學生的學習興趣，它對學生優良的思維品質的培養、完善具有十分重要的意義。

（責任編輯：張華偉）