拓展思路巧求幾何概率

☉江蘇省泗洪中學(xué) 吳艷明

所謂幾何概率，就是一個事件發(fā)生的概率等于這個事件的度量與整個樣本空間度量的比的一種概率模型，這個度量在幾何概率中指的是長度、面積或體積.對于一個具體的問題能否用幾何概率模型公式計算其概率，關(guān)鍵是能否將問題幾何化，從建立的幾何模型入手，來解決概率問題.此類問題由于綜合性強、靈活性大，學(xué)生解題時常感到無從下手.本文結(jié)合幾例探求幾何概率的問題，針對如何建立幾何模型及確定幾何度量談幾點技巧與方法.

一、通過定積分確定幾何度量

若幾何概率是以面積為幾何度量的題型，事件發(fā)生的幾何區(qū)域是由函數(shù)圖像所圍成的區(qū)域時，可考慮利用定積分確定其面積的大小.

及直線x=1，x=e2與x軸圍成，若向矩形ABCD內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為（ ）.

技巧點撥：本題考查了幾何概率的求解方法，解題時的關(guān)鍵是利用定積分的知識確定事件發(fā)生的幾何區(qū)域的面積，先利用點D的坐標(biāo)確定曲線的方程，然后求出陰影部分的面積和矩形面積，所求概率等于兩個面積的比值.

二、利用向量關(guān)系式確定點的位置

有些幾何概率問題對事件發(fā)生的區(qū)域是以向量形式給出的，應(yīng)首先利用向量間的關(guān)系確定所求點的位置，從而確定事件發(fā)生的幾何度量.

0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機投入△ABC內(nèi)，則該粒黃豆落在△PAC內(nèi)的概率為_____.

三、與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)

若幾何概率的條件與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)，則將此性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，根據(jù)不等關(guān)系進一步確定事件發(fā)生的幾何度量，往往涉及線性規(guī)劃的知識求解.

技巧點撥：確定幾何概率問題的實質(zhì)是探求幾何度量間的關(guān)系，本題由函數(shù)單調(diào)遞增的條件確定可行域的面積，繼而求得幾何概率的大小.

四、通過框圖探求范圍

技巧點撥：本題考查了幾何概率的計算問題，其幾何度量是區(qū)間的長度，通過框圖構(gòu)造分段函數(shù)，利用輸出的y值落在區(qū)間（-5，3）內(nèi)確定自變量的取值區(qū)間，從而確定概率值的大小，實質(zhì)問題也是框圖在分段函數(shù)中的應(yīng)用.

五、利用幾何性質(zhì)確定參數(shù)范圍

技巧點撥：本題考查了幾何概率的運算，求解時利用過一點有兩條圓的切線的條件即圓心到點的距離大于半徑確定參數(shù)k的范圍，從而確定幾何概率的大小，需要注意的是本題幾何度量是參數(shù)所在區(qū)間的長度.

總之，求幾何概率的關(guān)鍵是確定幾何度量的類型，往往涉及不等式、函數(shù)性質(zhì)、幾何性質(zhì)等的應(yīng)用以及面積、體積等問題的計算，解題時要根據(jù)不同類型合理轉(zhuǎn)化，起到化繁為簡，化生為熟的目的.