“選題”選出巧活 “說題”說出精彩——從“說題”教研活動的數學“選題”談起

☉甘肅天水市第一中學 宮前長

隨著新課程改革的深入，數學教研活動越來越受到大家的關注，尤其在內容和形式上有了很大的變化，不再是昔日的“課堂教學”的教研，呈現在大家面前的是“同課異構”、“多次備課”、“磨課”、“說課”和“說題”教研活動等等，注重小中見大的教研理念，從而加快了教師專業水平的提升，有利于推動新課程的進一步實施.

眾所周知，教師素質的高低決定了學生素質的高低，也決定著課程改革的成敗.新課程改革下的高考動向是減輕學生的負擔，為了真正減輕學生的負擔，就要加大力度開展教研活動，以“研”促“教”提高教學效率.“說題”教研活動的開展，一定要精心“選題”，才能做好“說題”，說出題目的深層思想和教育功能.在數學復習時，更加需要“說題”教研活動，說出題目的背景、蘊含的數學思想方法、教育功能等，避免教師在復習時，進行大題量的深挖知識點的應用和加深難度的訓練及拓展，唯有這樣，才能讓學生的數學復習效果達到最佳.那么，怎樣的題才具備“說題”教研的資格？筆者認為數學題目具有“巧”“活”是“說題”必備的條件.下面通過一道高考題的結構特征分析、命題立意剖析、解法探索來說明如何“選題”.

一、展示問題

二、對題目背景的認識

這道題是2010年高考數學安徽卷文科第17題，完全符合新課標的目標要求，即“了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題.”本題是以橢圓為背景考查橢圓的方程及直線的方程.

三、對題目特征的解讀

1.“巧”的凸顯

此題小巧，文字符號少，題目結構精巧，具有科學合理的新穎性和區分度，閱讀的視角雖放置在橢圓之中，但凸顯出大家熟悉的“角平分線”，對所有考生來說都是公平的、公正的，難度也小.題目涉及的知識點有橢圓、離心率、角平分線等，這些雖是試題的知識結構特征，但試題結合的“巧”，給考生創設了更多的成功機會，這樣的高考題自然是教師進行復習訓練的首選題目.

2.“活”的凸顯

大家知道，思維的靈活性完全體現在思維的創造性上，在審題、解題時往往表現為對待試題所含知識點的遷移和以不變應萬變的能力上.“角平分線”對每個考生來說，是再平常不過的一個概念，命題人進行這樣的處理給大家搭建了公平的平臺，自然解題的入口寬，解題思路廣、靈活多樣.雖說試題難度不大，但運用知識點解題設計的思路與方法，人人具備，并非失去了選拔的功能.

3.命題立意

試題背景是大家熟悉的橢圓與角平分線的有機結合，使題目內容飽滿、豐富.從知識角度看，能夠考查學生對橢圓的方程、直線方程以及角平分線的性質理解程度；從能力角度看，區分學生的運算能力、綜合分析能力.有效地考查了學生的層次性和差異性.主要表現在對所提供的條件以及對有關概念的準確理解，通過運算、推理，可以求得問題的正確解答.尤其通過圖形，抓住問題的本質，做特殊化處理，得到不同的解題思路，這樣既考查了學生能否準確的抓住問題的本質，又能考查學生思維的靈活性和創造性.故此題雖小，其中的“巧”“活”注入了經典題的“靈性”，其中所含的“能力立意”即蘊含數形結合的數學思想方法，也凸現在文字、符號、圖形之中，這樣的題一定會成為“亮點”題.

四、對解法的探究

1.抓住“角平分線”的概念作為突破口

從上述分析可知，題目涉及的知識點除去橢圓及離心率外，剩下的就是“角平分線”這個知識點，也是第二問涉及的一個概念.根據“角平分線”的概念、性質進行聯想，角平分線具有對應的角的對稱軸、內角平分線定理等等，自然形成下面幾種解法.

解法1： 如圖2，F1關于直線l的對稱點是B點，對稱點B必然在直線AF2上，并且有由于AF2⊥x軸，=3，故點B的坐標為（2，-2），從而直線F1B的斜率k1=，即得直線l的斜率是k=2，所以所求角平分線所在直線l的方程為y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

解 法2：由題設知，F2（2，0），A（2，3），=2a-=5，設∠F1AF2的角平分線所在的直線交x軸于點C，點C在線段F1F2上，點C的坐標為（m，0），根據角平分線的性質定理知，解得m=，所以點C），kAC==2，由點斜式，可得所求角平分線所在的直線l的方程為2x-y-1=0.

解法3：由題設知，F（1-2，0），F（22，0），A（2，3），設∠F1AF2的角平分線所在的直線交x軸于點C，點C在線段F1F2上，根據題意易知△F1AF2為直角三角形，而且=5，根據角平分線的性質定理知，由和比性質化簡得，由斜率的定義得kAC=tan∠ACF2==2，從而可得所求角平分線所在的直線l的方程為2x-y-1=0.

歸納：上述三種解題方法，完全利用了角平分線的性質（對稱性、角平分線性質定理等）進行解題，方法自然順暢，容易想到思路，過程簡單、簡捷.

2.抓“角平分線”的“幾何意義”作為突破口

由第一問的橢圓性質和角平分線的幾何意義可知，條件所涉及的“角平分線”一定通過直角三角形F1AF2的內心，再根據直角三角形的內切圓的性質也可以解決；或利用點到直線的距離公式、點關于直線的對稱等基礎知識來體現解析幾何的基本思想方法；或利用向量的幾何性質進行解決此問題.故容易得到下列方法.

解法5：根據題意可知，F1（-2，0），F2（2，0），直線AF1的方程為3x-4y+6=0，直線AF2的方程為x=2.再由點A在橢圓上的位置可知，直線l的斜率為正數.設P（x，y）為l上的任一點，則有|3x-4y+6|=5|x-2|，從而可得所求角平分線所在的直線l為方程2x-y-1=0.

歸納：內切圓的圓心就是三角形的內角平分線的交點，依此對題目進行剖析，梳理思路，在解題過程應用中顯得很“巧”.

3.抓“角平分線”的關鍵詞“角”作為突破口

角平分線就是這個角的對稱軸，借助三角函數的知識，或利用容易求得的焦點三角形的面積公式來體現對應角的關系，或根據在“同圓（等圓）中相等的圓周角所對的弧相等、弦相等”的性質，進而求得角平分線所在直線的斜率，自然可知其方程.依此思路可以得到下面的解法.

解法7：根據題意可知，F1（-2，0），F2（2，0），A（2，3），且Rt△F1AF2，其中=4，設∠F1AF2=2α，α∈（0°，90°），由tan2α=或-2（舍去），在Rt△F1AF2中，kl=tan（90-α）=cotα=2，從而可得所求角平分線所在的直線l的方程為2x-y-1=0.

解法8：設∠F1AF2=2α，α∈（0°，90°），橢圓的焦點三角形Rt△F1AF2的面積公式得S△=b2tanα，又而解得tanα=，故kl=cotα=2，從而可得所求角平分線所在直線l的方程為2x-y-1=0.

歸納：上述三種解題方法，反映了解析幾何問題最常用、最基本的解決方法：解析法、幾何法等.都是從“角平分線”的“角”作為突破口進行探索，發現角平分線就是這個角的對稱軸的幾何特征，借助三角函數的知識，或利用容易求得的焦點三角形的面積公式來體現對應角的關系，或根據在“同圓（等圓）中相等的圓周角所對的弧相等、弦相等”的性質的策略與手段，進而求解得其方程.

五、對“說題”過程的反思

1.從考題的層面思考

本題涉及橢圓的方程、離心率及直線（角平分線）的方程的問題，雖然題目的文字不多，但相關知識涉及面寬、綜合性強，對學生的要求比較低，學生容易解決問題，消除了學生對解析幾何問題的畏懼心理.在教學時不要動不動就選“難題”，給學生造成心理負擔過重的陰影，應多關注學生的發展，重視能力的培養.

（1）重視數學基礎知識、基本概念.熟練掌握圓錐曲線的基礎知識和幾何特征，尤其是準線、離心率及漸近線等，再總結常見題型的解題思路、方法、策略，對審題有很大的幫助，容易形成解題方案.

（2）重視數學知識歸納、經驗總結.在平時學習中，對所學的數學知識多歸納，形成知識網絡，梳理知識思路，有利于對知識的深層次理解.同時，多總結、反思解題方法及思路，既要會用坐標法解題，又要會依據圓錐曲線的幾何特征尋找解題的突破口.

2.從例題的層面思考

不僅教師要會解題，而且要準確把握題目揭示的數學本質及其教育功能，這就是所謂的“選題”過程，突出巧、活兩個特點，才能保證“說題”時多角度地研究題目結構，深層次地闡述題目功能，高視角地表征題目精彩.

此題可以作為橢圓學習后的一個綜合性例題出現在課堂上，與學生一起進行審題，引導學生積極參與，讓學生講出對此題的體會、認識，從不同的角度探究解題的思路、方法，讓學生在經歷解題過程中學會審題、解題，讓波利亞的四步解題過程在學生學習解題中自然形成，自覺解題是每個教師的愿望.

與學生共同探究、把握解決此題的一個目標：直線方程；

兩種類型：橢圓與直線；

三個方向：抓“角平分線”的概念、幾何意義、角的對稱性為突破口；

四種操作：采用坐標法、三角函數、幾何知識和方程操作解題；

四種思想：數形結合思想、方程思想、三角函數思想及轉化思想.

3.從本題的選題思考

選題時一定要遵循“基于基礎，具備小巧、靈活”必備條件.不論在教材、高考題中，還是從課外資料中選題，必須站在高起點、寬角度、多層次的角度考查學生的數學理性思維和直覺思維，充分體現新課標對數學教育功能的理念詮釋，自然就會選出“好題”，也能說出題中所隱含的數學知識、方法、思想，更能暴露出題目的教育價值.

4.從本題的說題層面思考

從建構主義角度看，說題是教師研究題目，將解題思路、方法、過程以及解題后反思等活動敘述出來；從系統論的角度看，就是揭示題目系統、教材系統、方法系統等之間的關系；從解題角度看，就是詮釋解題的思路、方法、知識點及規律.本題的說題過程：題目背景、題目特征、解題方法及解題思路、題后反思.本題從不同的角度去分析研究，得到不同的啟示，形成不同的解題思路與方法，促使學生的思維觸角伸向不同的方向、不同的層次，進一步發展學生的發散思維能力.

六、對數學教學的啟示

1.選好題給數學教學正確的導向

今年我國全面進入新課改，各校使用新課程教材，其高考試題的導向作用是很多的，為學生的健康發展考慮，從選擇“偏、難、怪、高、深、繁”的試題作為載體的學習中走出來，是新課標的目的.給數學教學提供正確的導向：應該重視基礎知識的教學，引導學生準確地理解和掌握基本概念.在選擇具有“巧”“活”的高考題后，教師要用全新的新課標理念設計出在學生“最近發展區”的知識“生長點”，和學生一起在探究和思考的過程中，主動地發現新知識，進一步的去探究、構建新知識的“生長點”，課堂就會更具有靈性、活性.

2.選好題推進新課程的深入發展

“說題”活動主要是教師在數學教育層面研究數學題目，揭示題目系統、教材系統、方法系統的內在聯系，進一步詮釋數學解題的思路、方法、知識點及規律.上述高考題作出了很好的示范，應該引起廣大教師的重視和進一步對試題的研究，高效的以促進中學新課程數學教學的可持續發展.在教學時做到“求變”、“求進”、“求通”、“求活”的觀念，做好“用教材”進行教學，才能更好地步入由“知識、思想”層面自覺進入“能力”層面的發展之路.通過教師經歷說題活動，促進教師教學效率和學生學習效率的共同提高，推動新課程理念的落實.

3.選好題促進教學交流，提升教師教學技能

選好題是“說題”說出精彩的基礎，更能體現數學的教育功能.說題活動作為一種新的教研活動方式，不僅能真實的反映教師的數學素養、數學素質，也能幫助教師提升提出問題、分析問題、解決問題的能力和教學技能，為教師之間的交流提供了平臺，教師自然會對教學進行深層次思考，有利于教師自身發展和教研能力的提高，“說題”不僅關注說清如何分析、如何教、如何反思，而且要關注如何“用”，即“說以致用”，才是說題的目的，才能更好地為新課標理念的實施鋪平道路.

4.選好題教會學生學會解題

解題教學要從解題分析過程入手進行多方位、多層次的剖析，讓學生明明白白、清清楚楚地知道解題的每一步是怎樣想到的，這是教會學生學會解題的最佳途徑和方法，也是數學教師力爭在平時的教學中不斷滲透和持久進行的重要工作，學生學習的積極性就會不斷增強，越來越多的學生會從內心喜愛數學.抓住經典題，挖掘題目蘊涵的訓練價值，有效的進行復習活動，這就是新課程理念所要求的數學學習方式、方法.

高考命題所彰顯的“巧”“活”對教學有重要的啟示，強調數學教師在數學復習教學時，不能選擇“偏、難、怪、高、深、繁”的試題作為載體進行復習，這樣會只能加重學生的負擔，損害學生學習的心理健康，妨礙學生的思維發展，完全違背了新課標的理念.因此，建議教師在數學復習時，多選擇一些具有“巧”“活”的高考題作為“說題”的題目，雖然題目不難，但能讓教師引領學生著眼于數學基礎，其效果不言而喻，有利于學生的思維發展，更有利于學生身心健康發展，也是廣大教師所期盼的.

“說題”教研活動的開展，是融解法、學法及考法（采用數學試題考查）的綜合，對提升教師基本素質是一條有效的途徑，不但深化了新課程的實施，而且拓寬了教師鉆研新課程教材及貫徹新課程理念的思路，有利于有效教學的落實.

1.宮前長.挖掘隱性條件凸現簡捷解法［J］.中國數學教育（高中版），2009（11）：36—38.

2.王尚志.數學教學研究與案例［M］.北京：高等教育出版社，2006.