等腰三角形一條性質的多種證明與拓展

☉河南省漯河市外語中學 龔天芝

等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高.

已知：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點P是邊BC上任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分別是E、F、D.

求證：PE＋PF＝CD.

證法1（面積法）：

故等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于一腰上的高.

證法2（截長法）：

在CD上截取DG=EP，連接PG，如圖2.

因為CD⊥AB，PE⊥AB，

所以四邊形DEPG是矩形，所以∠DGP=90°.

因為AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.

因為GP//DE，所以∠GPC＝∠B.

所以∠ACB＝∠GPC，又因為PC＝CP，∠PGC＝∠CFP=90°.

所以△CGP≌△PFC，所以PF＝CG.

所以PE＋PF＝DG＋GC＝CD.

證法3（補短法）：

延長EP到G，使EG=DC，連接CG，如圖3.

因為CD⊥AB，PE⊥AB，

所以四邊形DEGC是矩形，所以∠G=90°.

因為AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，

因為GC//DE，所以∠GCP＝∠B.

所以∠ACB＝∠GCP，又因為PC＝PC，∠G＝∠CFP=90°.

所以△CGP≌△CFP，所以PF＝PG.

所以PE＋PF＝EG＝CD.

（過點P作PG⊥CD，垂足為G，可得矩形DEPG，如圖2，以下證法同方法2，可使問題得證；過C作直線EP的垂線，垂足為G，可得矩形DEGC，如圖3，以下證法同方法3，可使問題得證.）

證法4（利用三角形相似）：

因為PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，如圖1.

所以∠BEP＝∠BDC=∠CFP＝90°.

因為AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.

所以△BEP∽△BDC∽△CFP.

拓展1.如果P在BC（或CB）的延長線上，如圖4，有下列結論：|PE－PF|＝CD.（證明方法同上，過程略）

即：等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離差等于一腰上的高.

拓展2.如果把等腰三角形變為等邊三角形，又有如下結論：

已知等邊△ABC和點P，P到△ABC的三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h.

（1）當點P在△ABC的一邊BC上時，如圖5，此時h3＝0，則h1＋h2＋h3＝h.

即：等邊三角形邊上一點到三邊的距離和等于等邊三角形的高.

（2）當點P為△ABC內任意一點時，如圖6，結論h1＋h2＋h3＝h仍成立.

即：等邊三角形內任意一點到三邊的距離和等于等邊三角形的高.

由此可知，在等邊三角形ΔABC中，設O為其中心，O到一邊的距離為r3，顯然h=3r3，就有結論h1+h2+h3=3r3

（3）當點P在△ABC外部時，如圖7，可得h1＋h2-h3＝h.

（證明方法同上，過程略）

拓展3.如果把等邊三角形變為正方形、正五邊形，正n邊形時，又有如下結論：

若點P為正邊形ABCD內任一點，點O為正方形的中心，O到一邊的距離為r4，P點到AB、BC、CD、DA各邊的距離為h1，h2，h3，h4，則h1+h2+h3+h4=4r4.

若點P為正五邊形ABCDE內任一點，點O為正五邊形的中心，O到一邊的距離為r5，P到AB、BC、CD、DE、EA各邊的距離為h1，h2，h3，h4，h5，則h1+h2+h3+h4+h5=5r5.

若點P是正n邊形內任一點，O是正n邊形的中心，點O到一邊的距離為rn，點P到各邊的距離分別為h1，h2，h3，…，hn，則h1+h2+h3+…+hn=nrn.（證明略）

中考鏈接

例1（2009遼寧朝陽）如圖8，△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.若BC=2，則DE+DF=_______.

解析：由等邊三角形的性質可知“等邊三角形一邊上任意一點到其他兩邊的距離和等于等邊三角形的高”，可求得

例2 （2011山東聊城）如圖9，點P是矩形ABCD的邊AD的一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（ ）.

例3（2011年佳木斯）如圖10，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E.

（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明.

（2） 若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說明理由.

解析：（1）由∠D=∠B′=90°，∠AED=∠CEB′，AD=CB′，可證△CEB′≌△AED.

（2）由題意易證△ACE是等腰三角形，因此根據等腰三角形的性質可知PG+PH=AD.在Rt△ADE由勾股定理得AD=4，即PG+PH=4.

例4 （2011年河北省）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G.一等腰直角三角尺按如圖11-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B.

（1）在圖11-1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜想.

（2）當三角尺沿AC方向平移到圖11-2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E.此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想.

（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續平移到圖11-3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

解析：（1）BF=CG.在△ABF和△ACG中，由∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，可證△ABF≌△ACG（AAS），故BF=CG.

（2）根據等腰三角形的性質“等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上高的長.”可證DE+DF=CG.

（3）仍然成立.