利用一次函數(shù)解中考熱點(diǎn)試題

☉江蘇高郵市龍虬初中 夏正華

一、利用一次函數(shù)的圖像解實(shí)際應(yīng)用型熱點(diǎn)試題

例1 某公司準(zhǔn)備與汽車租憑公司簽訂租車合同，以每月用車路程xkm計(jì)算，如圖1所示.甲汽車租憑公司每月收取的租賃費(fèi)為y1元，乙汽車租憑公司每月收取的租賃費(fèi)為y2元，若y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖1.其中x=0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為月固定租賃費(fèi)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）.

A.當(dāng)月用車路程為2000km時(shí)，兩家汽車租賃公司租賃費(fèi)用相同

B.當(dāng)月用車路程為2300km時(shí)，租賃乙汽車租賃公車比較合算

C.除去月固定租賃費(fèi)，甲租賃公司每公里收取的費(fèi)用比乙租賃公司多

D.甲租賃公司平均每公里收到的費(fèi)用比乙租賃公司少

分析：由題意聯(lián)系已知函數(shù)圖像可知，y1、y2均為x的一次函數(shù).①函數(shù)圖像相交于點(diǎn)（2000，2000），說明當(dāng)月用車路程為2000km時(shí)，兩家汽車租賃公司租賃費(fèi)用相同；②當(dāng)月用車路程為2300km時(shí)（即x=2300時(shí)），函數(shù)y1的圖像在函數(shù)y2圖像的上方（即y1＞y2），故當(dāng)月用車路程為2300km時(shí)，租賃乙汽車租賃公車比較合算；③本題中每公里收取的費(fèi)用直接影響著函數(shù)y隨x增大而增大的速度.在圖像上的直接體現(xiàn)則是圖像上升的速度.觀察圖像可知，函數(shù)y1的圖像上升趨勢(shì)明顯，速度比函數(shù)y2的圖像要快.所以除去月固定租賃費(fèi)，甲租賃公司每公里收取的費(fèi)用比乙租賃公司多.

福建省水利改革發(fā)展中的若干問題探討與建議…………………………………………… 游祖勇，高 平(22.57)

解答：選擇D.

點(diǎn)評(píng)：一次函數(shù)圖像的識(shí)圖以及從圖像中獲取相關(guān)信息是學(xué)習(xí)函數(shù)必備的一種基本能力.中考對(duì)于此類問題的考查也是從未間斷，常考常新.只有綜合掌握函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，并能融會(huì)貫通，才能較容易地解決問題.本題屬于一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，綜合性較強(qiáng).

二、構(gòu)建一次函數(shù)解決實(shí)際問題是中考的熱點(diǎn)

例2 甲車從A地出發(fā)以60km/h的速度沿公路勻速行駛，0.5h后，乙車也從A地出發(fā)，以80km/h的速度沿該公路與甲車同向勻速行駛，求乙車出發(fā)幾小時(shí)追上甲車.請(qǐng)建立一次函數(shù)關(guān)系解決上述問題.

分析：乙車出發(fā)幾小時(shí)追上甲車是指兩車行駛路程相等或在平面直角坐標(biāo)系兩條直線交點(diǎn)的意義，因此設(shè)乙車出發(fā)xh后，甲、乙兩車離A地的路程分別是y1km、y2km，得y1=60x+30，y2=80x.當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，y1=y2，即60x+30=80x.解得x=1.5（h）.

解答：設(shè)乙車出發(fā)xh后，甲、乙兩車離A地的路程分別是y1km、y2km.

根據(jù)題意得y1=60（x+0.5）=60x+30，y2=80x.

當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，y1=y2，即60x+30=80x.

解這個(gè)方程得x=1.5（h）.

答：乙車出發(fā)1.5h追上甲車.

點(diǎn)評(píng)：近年來，南京市中考數(shù)學(xué)試卷加大了對(duì)一次函數(shù)知識(shí)的考查，除09年省統(tǒng)考除外，06、07、08年各命制一道解答題（其中08年命制一道壓軸題），通過分析可以看出該知識(shí)點(diǎn)考查的內(nèi)容主要是函數(shù)關(guān)系的建立、函數(shù)圖像與函數(shù)的應(yīng)用，難度在中等或中等稍難以上.解決此類問題的一般方法是根據(jù)問題建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而運(yùn)用圖像或根據(jù)實(shí)際意義求解.

三、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式

例3 2010年我國(guó)西南地區(qū)遭受了百年一遇的旱災(zāi)，但在這次旱情中，某市因近年來“森林城市”的建設(shè)而受災(zāi)較輕.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市2009年全年植樹5億棵，涵養(yǎng)水源3億立方米，若該市以后每年年均植樹5億棵，到2015年“森林城市”的建設(shè)將全面完成，那時(shí)，樹木可以長(zhǎng)期保持涵養(yǎng)水源11億立方米.

（1）從2009年到2015年這七年時(shí)間里，該市一共植樹多少億棵？

（2）若把2009年作為第l年，設(shè)樹木涵養(yǎng)水源的能力y（億立方米）與第x年成一次函數(shù)，求出該函數(shù)的解析式，并求出到第3年（即2011年）可以涵養(yǎng)多少億立方米水源？

分析：⑴本題需要學(xué)生注意從2009年到2015年需要經(jīng)過7年，（2）第二問中需要運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析的方法，注意已經(jīng)知道了兩個(gè)點(diǎn)：第一年（1，3）；第7年（即2015年）（7，11），代入解析式；將3代入即可求出結(jié)論.

解答：（1）5×（2015-2009+1）=5×7=35 （億棵），所以該市一共植樹35億棵

（2）解：設(shè)樹木涵養(yǎng)水源的能力y（億立方米）與第x年所成的一次函數(shù)為：y=kx+b.

所以，函數(shù)的解析式為：y=x+4，第3年（即2011年）可以涵養(yǎng)水源7億立方米.

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)性題目，但是需要學(xué)生注意共經(jīng)過幾年，能夠通過閱讀抽象函數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入求出函數(shù)的解析式，再將已知條件求出代數(shù)式的值.利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、代入求值.這是中考的熱點(diǎn)，也是學(xué)生必備的知識(shí).

四、關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)型試題

例4（2010重慶綦江縣）“震災(zāi)無(wú)情人有情”，玉樹地震牽動(dòng)了全國(guó)人民的心，武警某部隊(duì)接到命令，運(yùn)送一批救災(zāi)物資到災(zāi)區(qū)，貨車在公路A處加滿油后，以每小時(shí)60千米的速度勻速行駛，前往與A處相距360千米的災(zāi)區(qū)B處.下表記錄的是貨車一次加滿油后油箱內(nèi)余油量y（升）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間關(guān)系：

行駛時(shí)間x（小時(shí)） 0 1 2 3 4余油量y（升） 150 120 90 60 30

（1）請(qǐng)你用學(xué)過的函數(shù)，建立y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，說明選擇這種函數(shù)的理由；（不要求寫出自變量的取值范圍）

（2）如果貨車的行駛速度和每小時(shí)的耗油量都不變，貨車行駛4小時(shí)后到達(dá)C處，C的前方12千米的D處有一加油站，那么在D處至少加多少升油，才能使貨車到達(dá)災(zāi)區(qū)B處卸去貨物后能順利返回D處加油？（根據(jù)駕駛經(jīng)驗(yàn)，為保險(xiǎn)起見，油箱內(nèi)余油量應(yīng)隨時(shí)不少于10升）

分析：①根據(jù)自變量和因變量變化情況來判斷函數(shù)的類型，這是解本題的關(guān)鍵.把給出的五組數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描出來，圖像的特征顯而易見，所以可以把這個(gè)函數(shù)歸類為一次函數(shù)關(guān)系；②用待定系數(shù)法來求解析式；③因?yàn)樵贒處加油的量必須使貨車到達(dá)災(zāi)區(qū)B處卸去貨物后能順利返回D處再次加油，根據(jù)題意，可以列不等式求解.

解答：（1）如圖2，把五組數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描出來，這五個(gè)點(diǎn)在一條直線上，所以y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系.

解得W≥94.

答：D處至少加94升油，才能使貨車到達(dá)災(zāi)區(qū)B地卸物后能順利返回D處加油.

點(diǎn)評(píng)：①本題從一個(gè)實(shí)例出發(fā)，建立具體的情境，在一定程度上考查了學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型的抽象思維能力；②本題體現(xiàn)了待定系數(shù)法在求解析式問題中的重要作用；③本題結(jié)合了不等式的有關(guān)知識(shí)，并且在列不等式的過程中要求學(xué)生思維縝密，增加了解題難度，提高了試題的區(qū)分度.本題緊扣大綱，把握時(shí)代脈搏，立意新穎，是一道好題.本題綜合性較高，難度中等偏上.