利用一次函數解中考熱點試題

☉江蘇高郵市龍虬初中 夏正華

一、利用一次函數的圖像解實際應用型熱點試題

例1 某公司準備與汽車租憑公司簽訂租車合同，以每月用車路程xkm計算，如圖1所示.甲汽車租憑公司每月收取的租賃費為y1元，乙汽車租憑公司每月收取的租賃費為y2元，若y1、y2與x之間的函數關系如圖1.其中x=0對應的函數值為月固定租賃費，則下列判斷錯誤的是（ ）.

A.當月用車路程為2000km時，兩家汽車租賃公司租賃費用相同

B.當月用車路程為2300km時，租賃乙汽車租賃公車比較合算

C.除去月固定租賃費，甲租賃公司每公里收取的費用比乙租賃公司多

D.甲租賃公司平均每公里收到的費用比乙租賃公司少

分析：由題意聯系已知函數圖像可知，y1、y2均為x的一次函數.①函數圖像相交于點（2000，2000），說明當月用車路程為2000km時，兩家汽車租賃公司租賃費用相同；②當月用車路程為2300km時（即x=2300時），函數y1的圖像在函數y2圖像的上方（即y1＞y2），故當月用車路程為2300km時，租賃乙汽車租賃公車比較合算；③本題中每公里收取的費用直接影響著函數y隨x增大而增大的速度.在圖像上的直接體現則是圖像上升的速度.觀察圖像可知，函數y1的圖像上升趨勢明顯，速度比函數y2的圖像要快.所以除去月固定租賃費，甲租賃公司每公里收取的費用比乙租賃公司多.

福建省水利改革發展中的若干問題探討與建議…………………………………………… 游祖勇，高 平(22.57)

解答：選擇D.

點評：一次函數圖像的識圖以及從圖像中獲取相關信息是學習函數必備的一種基本能力.中考對于此類問題的考查也是從未間斷，常考常新.只有綜合掌握函數的相關知識，并能融會貫通，才能較容易地解決問題.本題屬于一次函數實際應用問題，綜合性較強.

二、構建一次函數解決實際問題是中考的熱點

例2 甲車從A地出發以60km/h的速度沿公路勻速行駛，0.5h后，乙車也從A地出發，以80km/h的速度沿該公路與甲車同向勻速行駛，求乙車出發幾小時追上甲車.請建立一次函數關系解決上述問題.

分析：乙車出發幾小時追上甲車是指兩車行駛路程相等或在平面直角坐標系兩條直線交點的意義，因此設乙車出發xh后，甲、乙兩車離A地的路程分別是y1km、y2km，得y1=60x+30，y2=80x.當乙車追上甲車時，y1=y2，即60x+30=80x.解得x=1.5（h）.

解答：設乙車出發xh后，甲、乙兩車離A地的路程分別是y1km、y2km.

根據題意得y1=60（x+0.5）=60x+30，y2=80x.

當乙車追上甲車時，y1=y2，即60x+30=80x.

解這個方程得x=1.5（h）.

答：乙車出發1.5h追上甲車.

點評：近年來，南京市中考數學試卷加大了對一次函數知識的考查，除09年省統考除外，06、07、08年各命制一道解答題（其中08年命制一道壓軸題），通過分析可以看出該知識點考查的內容主要是函數關系的建立、函數圖像與函數的應用，難度在中等或中等稍難以上.解決此類問題的一般方法是根據問題建立函數關系式，進而運用圖像或根據實際意義求解.

三、利用待定系數法求一次函數的表達式

例3 2010年我國西南地區遭受了百年一遇的旱災，但在這次旱情中，某市因近年來“森林城市”的建設而受災較輕.據統計，該市2009年全年植樹5億棵，涵養水源3億立方米，若該市以后每年年均植樹5億棵，到2015年“森林城市”的建設將全面完成，那時，樹木可以長期保持涵養水源11億立方米.

（1）從2009年到2015年這七年時間里，該市一共植樹多少億棵？

（2）若把2009年作為第l年，設樹木涵養水源的能力y（億立方米）與第x年成一次函數，求出該函數的解析式，并求出到第3年（即2011年）可以涵養多少億立方米水源？

分析：⑴本題需要學生注意從2009年到2015年需要經過7年，（2）第二問中需要運用待定系數法確定函數解析的方法，注意已經知道了兩個點：第一年（1，3）；第7年（即2015年）（7，11），代入解析式；將3代入即可求出結論.

解答：（1）5×（2015-2009+1）=5×7=35 （億棵），所以該市一共植樹35億棵

（2）解：設樹木涵養水源的能力y（億立方米）與第x年所成的一次函數為：y=kx+b.

所以，函數的解析式為：y=x+4，第3年（即2011年）可以涵養水源7億立方米.

點評：本題是基礎性題目，但是需要學生注意共經過幾年，能夠通過閱讀抽象函數的兩個點的坐標，然后代入求出函數的解析式，再將已知條件求出代數式的值.利用待定系數法確定函數解析式、代入求值.這是中考的熱點，也是學生必備的知識.

四、關注社會熱點型試題

例4（2010重慶綦江縣）“震災無情人有情”，玉樹地震牽動了全國人民的心，武警某部隊接到命令，運送一批救災物資到災區，貨車在公路A處加滿油后，以每小時60千米的速度勻速行駛，前往與A處相距360千米的災區B處.下表記錄的是貨車一次加滿油后油箱內余油量y（升）與行駛時間x（時）之間關系：

行駛時間x（小時） 0 1 2 3 4余油量y（升） 150 120 90 60 30

（1）請你用學過的函數，建立y與x之間的函數關系式，說明選擇這種函數的理由；（不要求寫出自變量的取值范圍）

（2）如果貨車的行駛速度和每小時的耗油量都不變，貨車行駛4小時后到達C處，C的前方12千米的D處有一加油站，那么在D處至少加多少升油，才能使貨車到達災區B處卸去貨物后能順利返回D處加油？（根據駕駛經驗，為保險起見，油箱內余油量應隨時不少于10升）

分析：①根據自變量和因變量變化情況來判斷函數的類型，這是解本題的關鍵.把給出的五組數據在直角坐標系中描出來，圖像的特征顯而易見，所以可以把這個函數歸類為一次函數關系；②用待定系數法來求解析式；③因為在D處加油的量必須使貨車到達災區B處卸去貨物后能順利返回D處再次加油，根據題意，可以列不等式求解.

解答：（1）如圖2，把五組數據在直角坐標系中描出來，這五個點在一條直線上，所以y與x滿足一次函數關系.

解得W≥94.

答：D處至少加94升油，才能使貨車到達災區B地卸物后能順利返回D處加油.

點評：①本題從一個實例出發，建立具體的情境，在一定程度上考查了學生從實際問題中抽象出函數模型的抽象思維能力；②本題體現了待定系數法在求解析式問題中的重要作用；③本題結合了不等式的有關知識，并且在列不等式的過程中要求學生思維縝密，增加了解題難度，提高了試題的區分度.本題緊扣大綱，把握時代脈搏，立意新穎，是一道好題.本題綜合性較高，難度中等偏上.