百密不疏防漏解

☉江蘇泰州市高港中學(xué) 張 東

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了圓的知識(shí)后，在解與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常由于沒(méi)有仔細(xì)審題造成漏解.為此特將與圓有關(guān)的問(wèn)題作如下小結(jié).

一、關(guān)鍵點(diǎn)的位置認(rèn)識(shí)模糊造成漏解

例1 如圖1，半徑為2的⊙O中，已知弦求弦AB所對(duì)圓周角的度數(shù).

作OD⊥AB于D，由垂徑定理得

所以∠OAB=30°.同理∠OBD=30°.

因?yàn)椤螦OB=120°.

因?yàn)橄褹B所對(duì)圓周角等于是∠AOB的一半，

所以弦AB所對(duì)圓周角為60°.

分析：由于圓周角的頂點(diǎn)位置可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上（如圖2），所以弦AB所對(duì)的圓周角有兩種可能.

因?yàn)椤螦PB+∠AP1B=180°，

所以∠AP1B=120°.

所以AB所對(duì)圓周角的度數(shù)為60°或120

例 2 如圖3，半徑為2的⊙O中，弦上一點(diǎn)，且PA=PB，求S△ABP.

錯(cuò)解：作PD⊥AB.

因?yàn)镻A=PB，所以D為AB中點(diǎn).

由垂徑定理得PD必過(guò)圓心O.

由例1知OD=1，則PD=3.

分析：由于點(diǎn)P可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上（如圖4），故△ABP也有兩種情形.

正解：（1）若P在優(yōu)弧AB上.

（2）若P在劣弧AB上，則PD=OP-OD=1.

二、平行弦的位置模糊造成漏解

例 3 如圖5，已知⊙O中，半徑R=5，AB、CD是⊙O內(nèi)的兩條平行弦，且AB=6，CD=8.求S梯形ABCD.

錯(cuò)解：過(guò)O作直線(xiàn)MN⊥AB，交AB于M，交CD于N.

因?yàn)锳B∥CD，

所以MN⊥CD.

連接OA、OC.

分析：弦AB∥CD，但AB、CD不一定位于圓心的異側(cè)，也可能位于圓心的同側(cè).所以，本題除了上面的情形，還有下面的情形（如圖 6）.

正解：如圖6，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AB交CD于N.

則ON⊥CD.

同上解得OM=4，ON=3.

所以MN=1.

則本題正確的解答為S梯形ABCD=49或7.

三、兩圓位置關(guān)系模糊造成漏解

例4 如圖7，已知⊙O1與⊙O2相交于AB，AB=24，⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1、R2，R1=20，R2=15，求兩圓圓心距O1O2的長(zhǎng).

錯(cuò)解：設(shè)O1O2相交于C.

所以O(shè)1O2=O1C+O2C=16+9=25.

分析：兩圓相交，⊙O2的圓心可能在⊙O1外，也可能在⊙O2內(nèi).

正解：另一種情況，如圖8.當(dāng)O2的圓心在⊙O1外時(shí)，O1O2=25.

當(dāng)O2的圓心在⊙O2內(nèi)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)O1O2交AB于C.

所以?xún)蓤A圓心距O1O2是25或7.