非線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略

☉湖南省衡陽縣職業(yè)中專數(shù)學(xué)組 龍向東

線性規(guī)劃問題是不等式的一項重要應(yīng)用之一，其考查目的是利用不等式的幾何意義求與不等式相關(guān)的最值問題.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的不同可以分為線性目標(biāo)函數(shù)及非線性目標(biāo)函數(shù)，以下介紹常見的非線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略.

類型一、二元一次式

解析：本題考查線性規(guī)劃及利用不等式求解最值問題，畫出圖形得到a、b間的等量關(guān)系式，然后用二次函數(shù)求解最值的策略求解.由題易知，畫出可行域（如圖1）.目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值在點（4，6）處取得，所以有2a+3b=6.

點評：本題給出的目標(biāo)函數(shù)為二元一次結(jié)構(gòu)式，求解時依托目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12的條件，得到兩個變量關(guān)系，從而將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，進而確定其最值.

類型二、與區(qū)域面積相關(guān)問題

點評：線性約束條件的最終形式是不等式組表示的平面區(qū)域，與可行域相關(guān)的面積問題也稱為考查的一個方向，解決此類問題是觀察所涉及區(qū)域的面積類型，探尋與面積相關(guān)的信息，得出直線方程的相關(guān)信息求解.

類型三、分式型目標(biāo)函數(shù)

解析：本題考查利用線性規(guī)劃的知識解決最值問題，考查了學(xué)生等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的能力.先畫出不等式組表示的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，借助于圖形求解.

因為點A（-3，-4），B（3，2），

點評：本題利用分式的結(jié)構(gòu)特點，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜率取值范圍問題求解，借助了數(shù)形結(jié)合的思想，這是求解一次分式型目標(biāo)函數(shù)的常用技巧.

類型四、與平面向量的交匯型

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積及線性規(guī)劃中的最值問題.畫出不等式表示的平面區(qū)域，由圖4可知，目標(biāo)函數(shù)z=y-2x在的取值范圍是［0，6］.

點評：本題依托向量的數(shù)量積考查了線性規(guī)劃求最值的一個問題，向量數(shù)量積即體現(xiàn)了形的意識，又涉及了數(shù)量間的運算性質(zhì)，該題中可利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算將向量最值轉(zhuǎn)化為比較熟悉的線性目標(biāo)函數(shù)求解，體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想.

圖4

從上述幾個問題可以看出，解決非線性目標(biāo)函數(shù)類的線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化線性目標(biāo)函數(shù)，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決，常用的技巧有數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等思想.