淺析北京市2012屆上半年期中、期末對導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查

☉陜西省榆林市第一中學(xué) 韓向杰

考向一、對導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)基本應(yīng)用的考查

命題規(guī)律：以選擇題、填空題等客觀題目的形式考查導(dǎo)數(shù)的基本概念、運算、導(dǎo)數(shù)的物理意義、幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)與不等式研究函數(shù)的單調(diào)性.

1.（2012年昌平區(qū)高三期末考試理8）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).已知y=f′（x）的圖像如圖1所示，若兩個正數(shù)a，b滿足（f2a+b）>1，則的取值范圍是（ ）.

圖1

答案：A.

2.（2012年西城區(qū)高三期末考試文11）若曲線y=x3+ax在原點處的切線方程是2x-y=0，則實數(shù)a=______.

答案：2.

3.（2012年順義區(qū)高三尖子生綜合素質(zhì)展示10）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在（0，5）內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且有以下數(shù)據(jù)：

2 3 4 3 4 1 4 2 1 1 4 2 4 1 3 1 2 3 3 2 x f（x）f′（x）g（x）g′（x）

則曲線在點（1，f（1））處的切線方程是______；函數(shù)f（g（x））在x=2處的導(dǎo)數(shù)值是______.

答案：y=3x-1，12.

點評：主要考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題.

考向二、導(dǎo)數(shù)與極值、最值

命題規(guī)律：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最高值是高考常見的題型，要注意極值與最值的區(qū)別，本內(nèi)容也最常用于實際問題.

4.（2011年海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí)文17）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C=3+x，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式

已知每日的利潤L=S-C，且當(dāng)x=2時，L=3.

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值.

當(dāng)x≥6時，L=11-x≤5.

所以當(dāng)x=5時，L取得最大值6.

所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時，每日的利潤可以達到最大值6萬元.

5.（2011年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)（一）理17）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在［t，t+2］（t>0）上的最小值；

（Ⅱ）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解：（Ⅰ）f（x）定義域為0，+（）∞，f′（x）=lnx+1，

當(dāng)x∈（0，1），h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（1，+∞），h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增.

h（x）在（0，+∞）上，有唯一極小值h（1），即為最小值.

所以h（x）min=h（1）=4，因為對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4.

6.（2012年順義區(qū)高三尖子生綜合素質(zhì)展示18）已知函數(shù)f（x）=x2+ax-lnx,a∈R.

（Ⅰ）若a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在［1，2］上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e］（e是自然對數(shù)的底）時，函數(shù)g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時f（x）=x2-lnx.

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，試求函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，e］上的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)a≥0時，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）.

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，e］上單調(diào)遞增，則當(dāng)x=e時，函數(shù)（fx）取得最大值

當(dāng)a=0時，因為f′（x）=-2<0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，⑴當(dāng)Δ=4-4a2≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

⑵當(dāng)Δ=4-4a2>0時，即00解得：

點評：本類型的題目主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查分析推理和知識的綜合應(yīng)用、轉(zhuǎn)化的能力.