轉化法求遞推數列通項公式

☉江西省永新縣禾川中學 郭海華

求遞推公式數列通項公式問題，是近幾年高考的熱點.通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題求解.通過變換遞推關系，將非等差、等比數列轉化為與等差、等比有關的數列而求得通項公式的方法稱為轉化法.常用的轉化途徑有：

一、配湊變換

將遞推公式an=can－1+b（b、c是常數，且c≠1）通過配湊變成

例1 已知{an}中，a1=1，an=3an－1+2（n≥2），求an.

解：由an=3an－1+2，得an+1=3（an－1+1），則，即{a+1}是n首項為2、公比為3的等比數列.

an+1=2·3n－1，即an=2·3n－1－1.

二、倒數變換

點評：本題通過對題設中的遞推公式取倒數，進而轉化、構造出新的等差數列，利用等差數列的通項公式解決問題.

三、除冪變換

將遞推公式an+1=can+dn（c、d為非零常數，c≠1，d≠1）除以dn+1變為

例3已知{an}中，a1=1，an=2an－1+2n（n≥2），求an.

四、對數變換

將遞推公式an+1=canp（an>0，c.0，p>0，p≠1），取對數得lgan+1=plgan+lgc.

解：兩邊取常用對數，得lgan=2lgan－1－lga，可變為，則數列為首項、2為公比的等比數列.

五、特征方程法

若數列遞推關系是an+1=pan+qan－1（p、q為非零常數），可先求二次方程x2=px+q的兩根α、β，則數列{an+1+αan}是以β為公比的等比數列，從而求出原數列的通項公式.我們稱這種方法為特征方程法，其中x2=px+q稱為遞推關系的特征方程.

點評：特征方程法的實質是：

故數列{an+1+αan}是以β為公比的等比數列.

六、利用數列通項與前n項和的關系轉化

例6 設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn=4an+2.

（1）設bn=an+1-2an，證明：數列{bn}是等比數列；

（2）求數列{an}的通項公式.

解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，則b1=a1-2a1=3.

②－①得an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2（an-2an-1）.

又因bn=an+1-2an，即bn=2bn-1.故{bn}是首項為3、公比為2的等比數列.

以上六種方法是將非等差、等比數列轉化為等差、等比數列的主要方法，其目的在于轉化.只要我們在解題過程中靈活運用，領會其實質，那么我們在求數列通項公式問題時便會得心應手.