談?wù)劯咭缓瘮?shù)概念的有效教學(xué)策略

☉廣東省中山市華僑中學(xué) 張立平

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是概括的過程，概括就是由個(gè)別事物分離出同類事物的本質(zhì)屬性.所以沒有概括學(xué)生就不能掌握理解概念，不能運(yùn)用概念，就不能形成概念，那么概念所涉及的知識(shí)學(xué)生就不可能掌握.所以在函數(shù)教學(xué)中我們要重視函數(shù)概念過程教學(xué)，突出函數(shù)的本質(zhì).概念教學(xué)遵循從具體到表象再到抽象的過程，讓學(xué)生從具體的實(shí)例出發(fā)歸納總結(jié)概念的本質(zhì)屬性.函數(shù)概念學(xué)習(xí)可分為三個(gè)階段：感受階段—抽象階段—強(qiáng)化階段.

一、感受階段

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程，主動(dòng)地建立新知識(shí)和舊知識(shí)聯(lián)系是學(xué)生學(xué)習(xí)概念的必要條件.在函數(shù)教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生感受事物的共性，教師可創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，激活學(xué)生初中已有的函數(shù)知識(shí).如：天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，早上騎車去上學(xué)等一些簡(jiǎn)單的例子.在這些過程中有沒有變量，變量有幾個(gè)，變量之間有沒有依賴關(guān)系，這些依賴關(guān)系是函數(shù)嗎？從現(xiàn)實(shí)的背景出發(fā)，讓學(xué)生思考這一運(yùn)動(dòng)變化的過程，感受變量的關(guān)系，同時(shí)回憶初中所學(xué)函數(shù)的定義并抽象出函數(shù).然后，在此基礎(chǔ)上教師再提供一些各種類型的函數(shù)，幫助學(xué)生對(duì)函數(shù)再認(rèn)識(shí)再抽象.高一書本上的例子有些太復(fù)雜，教師可根據(jù)具體情況選擇課本上或生活中的一些實(shí)例.

實(shí)例1：一輛動(dòng)力火車以時(shí)速140千米勻速行駛，速度y與時(shí)間x的關(guān)系？

實(shí)例2：一名同學(xué)買作業(yè)本，一本2塊錢，買x（x∈{1，2，3，4，5，6}）本所付錢數(shù)y與買本數(shù)x之間的關(guān)系？

實(shí)例3：復(fù)雜一點(diǎn)的是分段函數(shù)：比如說水費(fèi)，一個(gè)家庭一個(gè)月用水量6噸以下，每噸1.2元，超過6噸的部分每噸1.5元，那么用水量x與所付水費(fèi)y的關(guān)系？

實(shí)例4：一名學(xué)生在安靜狀態(tài)下測(cè)量自己每分鐘心跳次數(shù)，再在劇烈運(yùn)動(dòng)4分鐘后測(cè)量自己每分鐘心跳次數(shù)，每隔一分鐘再測(cè)一次直到第五分鐘，得到如下表格：

活動(dòng)后時(shí)間第0分鐘第1分鐘第2分鐘第3分鐘第4分鐘心跳次數(shù) 76 143 138 125 100

在這些實(shí)際例子中，實(shí)例1讓學(xué)生感受到速度任何時(shí)間都是140，解析式為y=140，速度沒有隨時(shí)間的變化而變化，這是函數(shù)嗎？實(shí)例2學(xué)生感受到雖然總錢數(shù)隨著買的作業(yè)本的數(shù)目而變化，但是y=2x，x∈{1，2，3，4，5，6}，自變量只取六個(gè)整數(shù)，因變量也只有五個(gè)值，圖像不是直線了，而是一些離散的點(diǎn).實(shí)例3學(xué)生感受到水費(fèi)也隨著所用水量在變化，但是在不同的用水量范圍中變化關(guān)系不同，即讓學(xué)生感受到自變量取不同的值，解析表達(dá)式不同，圖像也是有差別的，是由一些折線組成的.實(shí)例4讓學(xué)生感受到心跳次數(shù)雖隨時(shí)間變化而變化，但是不能用解析表達(dá)式表示.呈現(xiàn)各種類型函數(shù)的例子，讓學(xué)生感受函數(shù)的本質(zhì).

二、抽象階段

通過第一階段學(xué)生充分地感受了生活實(shí)踐中這些豐富的例子，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)例，學(xué)生在經(jīng)歷解決實(shí)際問題的過程中逐步獲得函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)APOS理論學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，首先開始“活動(dòng)”只是把函數(shù)看作一個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)式或公式，這些式子中含有可以賦值和運(yùn)算的字母；然后學(xué)生把函數(shù)看作可以輸入輸出的機(jī)器，于是知識(shí)就處于第二狀態(tài)“程序”，這是一個(gè)循環(huán)的過程.當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)更復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，學(xué)生就會(huì)又回到“活動(dòng)”階段，進(jìn)而進(jìn)一步完善函數(shù)“程序”.當(dāng)學(xué)生經(jīng)過多次“活動(dòng)”熟悉后就把它內(nèi)化成“程序”儲(chǔ)存在腦中.因此教師可以用“集合”與“對(duì)應(yīng)”的語(yǔ)言給出函數(shù)的定義.

實(shí)例1中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)疑問“函數(shù)定義是一個(gè)量隨另一個(gè)量而變，而在例1中，速度沒有隨時(shí)間的變化而變化，關(guān)系表達(dá)式為y=140，這是函數(shù)嗎？”教師需要引導(dǎo)學(xué)生分析這一過程，把“一個(gè)量跟著一個(gè)量變”和“一個(gè)量變，而另一個(gè)沒有變”這二者統(tǒng)一起來，找出兩者共同特征.教師可以做如下的分析：設(shè)時(shí)間t（小時(shí)），0→140，0.1→140，0.2→140，…，5→140，具體分析，讓學(xué)生概括出時(shí)間與速度的關(guān)系是：t→140這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，抽象出對(duì)應(yīng)的思想.

實(shí)例2中，所付總錢數(shù)y與買的作業(yè)本的本數(shù)可以用表格表示如下：

作業(yè)本數(shù)x 1 2 3 4 5 6所付錢數(shù)y 2 4 6 8 10 12

讓學(xué)生觀察表格，總結(jié)分析錢數(shù)與本數(shù)之間的關(guān)系：

1→2 ，2 →4 ，3→6，4→8，5→10，6→12，兩個(gè)量之間滿足如下關(guān)系x→2x.作業(yè)本數(shù)的取值是在1，2，3，4，5，6這六個(gè)值范圍內(nèi)，而錢數(shù)也是在六個(gè)值2，4，6，8，10，12這六個(gè)內(nèi)取值，從而讓學(xué)生抽象出兩個(gè)量之間的關(guān)系是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng).然后我們把實(shí)例1和實(shí)例2做一個(gè)比較，得出兩者的共同特征：在實(shí)例1和實(shí)例2中兩個(gè)變量之間的關(guān)系都是x有一個(gè)值，y都有一個(gè)唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，無論對(duì)應(yīng)的值相同或不同，只要存在一個(gè)確定值，可以是一對(duì)一，也可是多對(duì)一.要找到一個(gè)唯一確定的值，那必須有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即對(duì)應(yīng)法則來找到我們所要的唯一確定的值.在例1和例2中都是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng).

實(shí)例3中，讓學(xué)生感受自變量在不同的取值范圍內(nèi)，所對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式是不同的.每一個(gè)確定的水量都對(duì)應(yīng)了一個(gè)唯一確定的水費(fèi)，讓學(xué)生抽象出這一本質(zhì)屬性.

實(shí)例4中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的問題“心跳的次數(shù)與時(shí)間的關(guān)系不能用解析式來表達(dá)，這是函數(shù)嗎？”教師帶領(lǐng)學(xué)生分析，由以上的例子我們可以總結(jié)出兩個(gè)量之間的關(guān)系是“x一個(gè)值y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，要找到這個(gè)確定值，那必然要有個(gè)對(duì)應(yīng)法則”.例3中這個(gè)對(duì)應(yīng)法則就是每一個(gè)確定的時(shí)間都對(duì)應(yīng)了一個(gè)唯一的心跳數(shù)，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則只是不能用解析式來表達(dá)，對(duì)應(yīng)法則不必一定要是解析式.

由以上這么多例子，通過多次“活動(dòng)”讓學(xué)生抽象出函數(shù)的本質(zhì)，我們可以讓學(xué)生采用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來描述函數(shù)概念，提出函數(shù)的符號(hào).這里要對(duì)函數(shù)符號(hào)y=f（x）的教學(xué)予以說明.在函數(shù)概念得出以后，教師要對(duì)函數(shù)的抽象符號(hào)y=f（x）強(qiáng)調(diào)說明，指出y=f（x）只是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，它是為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示，而不是說y等于f乘上x；y=f（x）有時(shí)能用解析式來表達(dá)，而有時(shí)不能用解析式表達(dá)；f（x）與y＝f（a）是不同的，一般情況下，y＝f（a）表示當(dāng)x取a時(shí)的函數(shù)值，函數(shù)還可以用g（x），F(xiàn)（x）等來表示.通過在多次“活動(dòng)”的基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)一步完善函數(shù)在頭腦中的“程序”.經(jīng)過以上的直觀感受，觀察歸納，抽象總結(jié)，形式化、符號(hào)化生成函數(shù)概念.

三、強(qiáng)化階段

在這一階段，為了讓學(xué)生避免在沒有準(zhǔn)確掌握函數(shù)概念本質(zhì)時(shí)盲目的應(yīng)用，教師可以舉一些與日常生活息息相關(guān)或者和其他科學(xué)相關(guān)的正例，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，強(qiáng)化函數(shù)的本質(zhì)屬性是“對(duì)應(yīng)”.在對(duì)應(yīng)的函數(shù)活動(dòng)中，只有學(xué)生主動(dòng)地反復(fù)利用函數(shù)“程序”，函數(shù)概念建構(gòu)過程才可能得以實(shí)現(xiàn).教師可以利用函數(shù)表示方式的多樣性，讓學(xué)生積極參與到各種活動(dòng)中來.例如，教師可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)情景，有一個(gè)同學(xué)去上學(xué)，一開始他徒步走了一段路程，后發(fā)現(xiàn)自己忘了拿數(shù)學(xué)書就立即返回拿上數(shù)學(xué)書，后又怕遲到，所以他立刻跑步上學(xué)，累了后繼續(xù)走剩下的路程.讓學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出他走法的圖像，用橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示路程.教師再畫出一些函數(shù)圖像，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)問題情境.這樣讓學(xué)生感受到函數(shù)與日常生活的聯(lián)系，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解.以上通過從典型、豐富的具體實(shí)例出發(fā)，激發(fā)與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，引起學(xué)生的積極思維，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，抽象概括出函數(shù)的本質(zhì).教師幫助學(xué)生構(gòu)建活動(dòng)，通過多次活動(dòng)讓學(xué)生親身體會(huì)、感受直觀背景和函數(shù)概念的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)活動(dòng)進(jìn)行思考，內(nèi)化為程序，從而抽象出函數(shù)的特性，認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)，對(duì)函數(shù)形式化和符號(hào)化，能對(duì)函數(shù)整體認(rèn)識(shí)，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)為一個(gè)具體的對(duì)象.函數(shù)的學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷完善深化的過程，學(xué)生在后續(xù)對(duì)具體的函數(shù)進(jìn)行研究時(shí)，以頭腦中的對(duì)象去進(jìn)行新的活動(dòng)，經(jīng)過長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)進(jìn)一步完善函數(shù)這一對(duì)象，逐漸形成關(guān)聯(lián)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立起與其他概念的聯(lián)系，形成個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，即圖示結(jié)構(gòu)，并應(yīng)用它解決與函數(shù)概念相關(guān)的問題.

1.賈隨軍.函數(shù)概念的演變及其對(duì)高中函數(shù)教學(xué)的啟示.課程·教材·教法，2008，7.

2.呂世虎，王尚志.高中數(shù)學(xué)新課程中函數(shù)設(shè)計(jì)思路及其教學(xué).課程·教材·教法，2008，28（2）.