再談不等式證明的常規(guī)方法

☉江蘇省灌南中等專業(yè)學(xué)校 夏麗蓉

由于不等式證明的方法較多，且常與函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)綜合，加上綜合性比較強(qiáng)，這就使得這部分內(nèi)容成為高考的難點(diǎn).這就要求我們要熟練掌握不等式證明的基本方法的基礎(chǔ)上，還要抓住不等式的特征選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ㄑ杆俚丶右越鉀Q.下面舉例說明不等式證明常用的幾種方法，并就這些方法的應(yīng)用來舉例說明，供讀者參考.

一、比較法

比較法是證明不等式的最基本的方法之一，我們常用的是“作差比較法”及“求商比較法”.當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式形式時(shí)常用作差法；當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)常用求商法.“作差比較法”適用于任何被比對(duì)象，但“求商比較法”適用的被比對(duì)象必須是正數(shù).

例1（2011年陜西卷）設(shè)0

二、綜合法

綜合法就是從題設(shè)條件及不等式的性質(zhì)出發(fā)，逐步推導(dǎo)出所要證明的不等式，簡稱“由因?qū)Ч保瑧?yīng)用綜合法證明的關(guān)鍵是找出作為基礎(chǔ)的已經(jīng)證明過的不等式.

三、分析法

分析法是一種執(zhí)果索因的方法，即從結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，從而斷定原不等式成立.分析法證明“若A成立，則B成立”的模式是：“要證B成立，只需證B1成立，即證B2成立，只需證明A為真，而已知A成立，故B成立.即B?B1?B2?…Bn?A.

又x≥1，y≥1，所以（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，從而所要證明的不等式成立.

四、反證法

反證法也叫歸謬法，其證明步驟可概括為：

1.否定結(jié)論，即假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即肯定結(jié)論的反面成立；

2.推出矛盾，即由結(jié)論反面（稱“暫時(shí)假設(shè)”）出發(fā)，通過一系列正確的推導(dǎo)，導(dǎo)出矛盾；

3.否定假設(shè)，即由正確推理導(dǎo)出矛盾，說明“暫時(shí)假設(shè)”不成立；

4.肯定結(jié)論，即由于否定“暫時(shí)假設(shè)”，于是肯定結(jié)論成立.

反證法的難點(diǎn)在于從假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)出矛盾，矛盾可能是多種多樣的，可與已知矛盾，或與已有的事實(shí)矛盾等.

五、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于自然數(shù)n的命題的一種方法，近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思維模式，就顯得特別重要.應(yīng)用中要注意以下三點(diǎn)：

1.充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法證明分兩步走的必要性；

2.注意：假設(shè)n=k成立，證明n=k+1成立變形的技巧性；

3.寫好結(jié)論：注意數(shù)學(xué)歸納法證題的完整性.

例5 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，….

（1）求a1，a2；

（2）{an}的通項(xiàng)公式.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.

①n＝1時(shí)已知結(jié)論成立.

當(dāng)然不等式的證明方法還有很多，如構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)、三角代換、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造向量等，但這些方法都是以上5種常規(guī)方法的引申或變換，因此解題中同學(xué)們?cè)谡莆栈痉椒ǖ幕A(chǔ)上，要充分挖掘問題的根源，選擇策略，這樣才可達(dá)到事半功倍之效.