一次“失誤 ”的實踐與探究

☉江蘇省海安縣丁所初級中學 濮建平

一次“失誤 ”的實踐與探究

☉江蘇省海安縣丁所初級中學 濮建平

一道探究題，當我們從另外一個角度分析、思考、探究時，常常就會有新的發現，當我們對新的發現再深入探究時，我們就會認識到，這對拓展學生視野，啟迪學生思維是很重要的．

一、一次評課，強調“分別”

近期，學校組織八年級數學教師進行了一次“同課異構”教學活動．

課題：八年級《數學》上冊第42頁的探究題：如圖1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

在組織的評課中各位同仁的觀點不再贅述，筆者的兩點不同觀點：

圖1

（1）數學中考題的設計通常是以基本圖形、重要概念和基本方法為基礎的，學生憑借數學直覺，提煉題目所隱含的圖形、模式、結論完成的.我們一位老師能升華本課的內容，得到如何“在直線上找一點使它到同側兩點距離之和最小”的數學模型或者說模式，是站在初中數學的整體高度，能為學生的后續學習打下良好的基礎.

（2）提煉模式，創造模式，運用模式是教師提高學生解題能力的一劑良方，但學生對模式的理解不到位，前提不清，有時會失誤.這一課，所有的老師都沒提到探究題中的“分別”兩字，這是我們老師的失誤.

二、筆者的實踐：故意“失誤”

為了驗證筆者的觀點，筆者故意失誤，給我的九年級學生出了這樣一道檢測題：

試題：如圖2，直線MN表示一條河流，在河流的一側有A、B兩個村莊，A、B兩個村莊到直線MN的距離分別是1km和4km，A、B兩個村莊的距離為5km，現要在MN上修建一個泵站，（此處“分別”兩字丟失）向兩個村莊送水，請問所用管道的最短長度是多少？

圖2

一個優生的答題情況：

解∶若A、B兩個村莊共用一條管道，如圖3，排水站建在C處，共用管道長為CA+AB=6km.

若分別送水，如圖4，A′為點A關于直線MN的對稱點，排水站建在P處，借助于圖5易求得AE=BD－AC=3km，又AB=5km，所以BE=4km，A′E=5km，A′B=km，即所需的管道長度為AP+PB=A′B=km.

圖3

圖4

圖5

一個基礎較差的學生：CA+AB=6km.

筆者給優生這個題目后的評語：你好樣的，這是老師的“失誤”！你審題真仔細！

筆者給基礎較差的這個學生的評語：good！你能進一步知道為什么嗎？

三、實踐后的探究

為了讓學生對模型的實質有深刻的認識，給學生一個探究的平臺，在試卷講評課上進行了有目標的、針對性的共同探究：

題目：（河北中考題改編）在一平直河岸l同側有A、B兩個村莊，A、B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）.現計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水，抽水站建在何處所用管道最短？

圖6

圖7

圖8

教師：如圖6（方案一），若A、B兩村莊共用一條管道，你能用含a的代數式表示管道長度嗎？

學生1：d1=（2+a）km.

教師：（方案二）若從抽水站分別向兩個村莊供水，你能畫出P點位置嗎？

學生畫圖：如圖7，很熟練.

教師：請大家共同討論，能不能用含字母a的代數式表示管道長度？

教師：同學們，我們雖然可用含a的代數式表示管道長度，但究竟采用哪種方案呢！

教師：如果a=4，應采用哪種方案？

教師：很好，如果a=6，應采用哪種方案？

教師：同學們，剛才通過取特殊值，已經知道采用哪種方案取決于a的值!大家能不能就a（當a＞1時）的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二？小組討論，看能不能解決？

學生小組討論，教師巡視.

教師：大家準備用什么方法解決呢？

學生4：老師，可采用求差法，比較d1和d2的大小，但我求差后無法比較.

教師：很好！當不易直接比較兩個正數的大小時，可以對它們的平方進行比較??！

大家再試一試！

綜上可知：當a＞5時，選方案二；當a=5時，選方案一或方案二；當1＜a＜5時，選方案一.

教師：這位同學做得太好了，這里用到了求差法，又用到了分類的思想，同學們可要學習呀！通過這道題，我們知道所需管道長短不僅與是否分別向兩個村莊鋪設管道有關，還與兩個村莊到河流的距離以及兩個村莊之間的距離有關.現在，老師把這道題改編如下：

改編：在一平直河岸l同側有A、B兩個村莊，A、B到l的距離分別是akm和bkm，AB=ckm（c＞a－b）.現計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水.抽水站建在何處所用管道最短？

請同學們課后類比剛才的方法，再探究：a、b、c究竟滿足什么關系時，采用方案一或方案二的方法送水.

四、結束語

一道探究題，筆者的故意失誤既讓學生了解“分別”兩字的重要性，后續探究又讓學生拓展了知識的深度，鍛煉了解題思維能力，真是一題值千金.如果我們的數學課堂能夠在學生已有模式解決的問題上，深入挖掘問題的本質，不僅能讓學生體會到學習數學的樂趣，而且能讓學生活用思想方法，形成思維的發散性、靈敏性、深刻性和嚴謹性.

波利亞指出：“拿一個有意義而又不復雜的題目去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域”.因此我們在教學中要善于搭建合適的平臺，引導學生拾級而上，培養學生的推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，并注意應用意識的滲透，這才是真正的素質教育，才是數學的合理定位.真正的數學應該教“思考”、教“思維”、教“應用”.