淺析勾股定理的綜合應用

☉江蘇省宿豫實驗初中 袁秀琳

勾股定理揭示了直角三角形中三邊之間的數量關系，幾何中的很多計算問題都可轉化到直角三角形中，用勾股定理來解決.圍繞著勾股定理，出現了許多形式新穎，視點獨特，內容豐富的新型試題，這些新題，既考查了對勾股定理理解、掌握和運用，又考查了同學們的創新能力.現采擷幾例近年來中考試題，進行分類說明，供大家參考.

一、利用勾股定理求面積

圖1

例1 圖1是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（ ）.

A.13 B.26 C.47 D.94

解析：因為勾股樹中每相鄰的三個正方形圍成一個直角三角形，所以正方形A、B邊長的平方和等于正方形F的邊長的平方，即正方形A與正方形B的面積之和等于正方形F的面積，從而正方形F的面積為8.同理可得正方形G的面積為5.再利用上述結論，正方形E的面積等于正方形F和G的面積之和.故選擇答案A.

評注：解決這類題的關鍵是抓住題目的特征，找出本題圖形中的隱藏規律：如果把大正方形作為第一層，兩個小正方形作為第二層，那么第二層的兩個小正方形的面積之和等于第一層正方形的面積.

二、利用勾股定理求最短距離

例2 如圖2，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（ ）.

圖2 圖3

解析：因為螞蟻從A到B點沿著長方體的表面爬行，因此將長方體側面展開成平面圖形，圖3是展開圖的一部分，其中過B點作對邊的垂線段，得到BC=20；由題意可知AC=15；根據“兩點之間，線段最短”得A點到B點的最短距離為AB的長，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得BC2+AC2=AB2，解得AB=25.即從A點到B點的最短距離為25.故選擇答案B.

評注：求立體圖形表面上兩點間的最短距離，一般情況下，是將立體圖形展開成平面圖形，然后構造直角三角形，利用勾股定理去解答.

三、利用勾股定理求事件的概率

圖4

例3“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形.如圖4，是一“趙爽弦圖”飛鏢板，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4.小明同學距飛鏢板一定距離向飛鏢板投擲飛鏢（假設投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區域（含邊線）的概率是（ ）.

解析：這是典型的弦圖，我們很容易得出中間陰影部分是一個正方形，而且邊長為2；再根據勾股定理求出大正方形的邊長為.因為所有正方形都是相似性，所以本圖中小正方形與大正方形的面積比為對應邊的比的平方，即1：5；再根據概率公式求出投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區域（含邊線）的概率是故選擇答案C.

評注：本題是集勾股定理、三角形、四邊形、相似的性質、概率等為一體的綜合題，考查比較全面.

四、利用勾股定理求圓的直徑

圖5

例4 已知：如圖5，⊙O1與坐標軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點，點O1的縱坐標為.求⊙O1的半徑.

解析：過點O1作O1C⊥AB，垂足為C，則有AC=BC.由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，所以AC=2.

在Rt△AO1C中，因為O1的縱坐標為

所以⊙O1的半徑

評注：本題考查了求平面直角坐標系中點的坐標，以及垂徑定理的應用，再利用勾股定理去求圓的直徑.

五、利用勾股定理解決實際問題

例5 有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m，8m.現在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長.

解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.由勾股定理得AB=10，擴充部分為Rt△ACD，擴充成等腰△ABD的周長為32m.應分以下三種情況：

①如圖6，當AB=AD=10時，可求CD=CB=10，得△ABD的周長為32m.

②如圖7，當AB=BD=10時，可求CD=4，由勾股定理得：AD=cm.

③如圖8，當AB為底時，設AD=BD=x，則CD=x-6，由勾股定理得，得△ABD的周長為

評注：本題是一道考查勾股定理的實際應用問題，關鍵是理解題意，分清各種符合題意的三角形形狀，畫出相應的幾何圖形，根據勾股定理列出等量關系式，求出擴充后等腰三角形綠地的周長.通過這道試題的研究，本題既考查勾股定理的應用和等腰三角形的性質，同時考查學生建立正確的數學模型解決問題的能力，也比較全面地考查同學們分類討論思想的掌握情況.