淺析勾股定理的綜合應(yīng)用

☉江蘇省宿豫實(shí)驗(yàn)初中 袁秀琳

勾股定理揭示了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，幾何中的很多計(jì)算問題都可轉(zhuǎn)化到直角三角形中，用勾股定理來解決.圍繞著勾股定理，出現(xiàn)了許多形式新穎，視點(diǎn)獨(dú)特，內(nèi)容豐富的新型試題，這些新題，既考查了對(duì)勾股定理理解、掌握和運(yùn)用，又考查了同學(xué)們的創(chuàng)新能力.現(xiàn)采擷幾例近年來中考試題，進(jìn)行分類說明，供大家參考.

一、利用勾股定理求面積

圖1

例1 圖1是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（ ）.

A.13 B.26 C.47 D.94

解析：因?yàn)楣垂蓸渲忻肯噜彽娜齻€(gè)正方形圍成一個(gè)直角三角形，所以正方形A、B邊長(zhǎng)的平方和等于正方形F的邊長(zhǎng)的平方，即正方形A與正方形B的面積之和等于正方形F的面積，從而正方形F的面積為8.同理可得正方形G的面積為5.再利用上述結(jié)論，正方形E的面積等于正方形F和G的面積之和.故選擇答案A.

評(píng)注：解決這類題的關(guān)鍵是抓住題目的特征，找出本題圖形中的隱藏規(guī)律：如果把大正方形作為第一層，兩個(gè)小正方形作為第二層，那么第二層的兩個(gè)小正方形的面積之和等于第一層正方形的面積.

二、利用勾股定理求最短距離

例2 如圖2，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（ ）.

圖2 圖3

解析：因?yàn)槲浵亸腁到B點(diǎn)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行，因此將長(zhǎng)方體側(cè)面展開成平面圖形，圖3是展開圖的一部分，其中過B點(diǎn)作對(duì)邊的垂線段，得到BC=20；由題意可知AC=15；根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”得A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離為AB的長(zhǎng)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得BC2+AC2=AB2，解得AB=25.即從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離為25.故選擇答案B.

評(píng)注：求立體圖形表面上兩點(diǎn)間的最短距離，一般情況下，是將立體圖形展開成平面圖形，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理去解答.

三、利用勾股定理求事件的概率

圖4

例3“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形.如圖4，是一“趙爽弦圖”飛鏢板，其直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是2和4.小明同學(xué)距飛鏢板一定距離向飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域（含邊線）的概率是（ ）.

解析：這是典型的弦圖，我們很容易得出中間陰影部分是一個(gè)正方形，而且邊長(zhǎng)為2；再根據(jù)勾股定理求出大正方形的邊長(zhǎng)為.因?yàn)樗姓叫味际窍嗨菩裕员緢D中小正方形與大正方形的面積比為對(duì)應(yīng)邊的比的平方，即1：5；再根據(jù)概率公式求出投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域（含邊線）的概率是故選擇答案C.

評(píng)注：本題是集勾股定理、三角形、四邊形、相似的性質(zhì)、概率等為一體的綜合題，考查比較全面.

四、利用勾股定理求圓的直徑

圖5

例4 已知：如圖5，⊙O1與坐標(biāo)軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)O1的縱坐標(biāo)為.求⊙O1的半徑.

解析：過點(diǎn)O1作O1C⊥AB，垂足為C，則有AC=BC.由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，所以AC=2.

在Rt△AO1C中，因?yàn)镺1的縱坐標(biāo)為

所以⊙O1的半徑

評(píng)注：本題考查了求平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，以及垂徑定理的應(yīng)用，再利用勾股定理去求圓的直徑.

五、利用勾股定理解決實(shí)際問題

例5 有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為6m，8m.現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.由勾股定理得AB=10，擴(kuò)充部分為Rt△ACD，擴(kuò)充成等腰△ABD的周長(zhǎng)為32m.應(yīng)分以下三種情況：

①如圖6，當(dāng)AB=AD=10時(shí)，可求CD=CB=10，得△ABD的周長(zhǎng)為32m.

②如圖7，當(dāng)AB=BD=10時(shí)，可求CD=4，由勾股定理得：AD=cm.

③如圖8，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD=BD=x，則CD=x-6，由勾股定理得，得△ABD的周長(zhǎng)為

評(píng)注：本題是一道考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是理解題意，分清各種符合題意的三角形形狀，畫出相應(yīng)的幾何圖形，根據(jù)勾股定理列出等量關(guān)系式，求出擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).通過這道試題的研究，本題既考查勾股定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，同時(shí)考查學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，也比較全面地考查同學(xué)們分類討論思想的掌握情況.