例析新定義試題的實(shí)踐與思考

☉浙江省天臺(tái)縣教育局教研室 丁福珍

縱觀(guān)臺(tái)州市近幾年中考試題，涉及“新定義”的考題頻頻亮相，細(xì)品一下，也是數(shù)學(xué)教學(xué)和中考的必然要求，《2012考試說(shuō)明·數(shù)學(xué)》考試要求C級(jí)之一“能在理解的基礎(chǔ)上，把對(duì)象運(yùn)用到新的情景中”；命題要求之一“讓學(xué)生通過(guò)閱讀，理解試題中的數(shù)量關(guān)系或圖形的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)耐评怼⑴袛嗷蛱剿髌渲械囊?guī)律解決相關(guān)問(wèn)題”.而“新定義”題型的選用能使“考試要求”和“命題要求”和諧，并能取得“雙贏(yíng)”的效果.

“數(shù)學(xué)概念是客觀(guān)事物關(guān)于數(shù)和形的本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法則的邏輯基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)和靈魂”.“新定義”，重在“新”，即課本中沒(méi)有直接提出的數(shù)學(xué)概念或命題，卻能用學(xué)生已經(jīng)掌握的概念詮釋的一類(lèi)源于課本而高于課本的命題.通過(guò)以“新定義”為載體的學(xué)業(yè)考查，能較有效反映學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、數(shù)學(xué)思考能力、數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力等.

下面筆者以近幾年數(shù)學(xué)考題中的“新定義”為例，談?wù)剬?duì)“新定義”一類(lèi)題的思考.

一、從“新定義”結(jié)合點(diǎn)來(lái)看

一是與“數(shù)與式”相結(jié)合，“新”在概念.例如2009年臺(tái)州市第10題的“完全對(duì)稱(chēng)式”；2006年浙江省卷23題的“神秘?cái)?shù)”.

例1 如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù).

（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

二是與“基本圖形”相結(jié)合，“新”在名稱(chēng)，是滿(mǎn)足一定條件的“特殊圖形”.例如臺(tái)州市2009年的“凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)”和2011年壓軸題中的“拋物線(xiàn)的伴隨四邊形”，“拋物線(xiàn)的伴隨直線(xiàn)”；2007年鄂爾多斯市25題的“勾股四邊形”.

例2 我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線(xiàn)的平方，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱(chēng)為這個(gè)四邊形的勾股邊.

寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱(chēng).

三是與運(yùn)算相結(jié)合，“新”在運(yùn)算順序和法則.

例3 （2006年嘉興市）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù) ），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取n=26，則：

若n=449，則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是___.

二、從“新定義”形成的背景來(lái)看

第一類(lèi)是課本知識(shí)的延伸、拓展、變式.如臺(tái)州市2006年考到的“點(diǎn)與圓的距離”、“相似梯形”.

第二類(lèi)是有待于去學(xué)習(xí)和即將要學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)概念、定義.如臺(tái)州市2010年考到的“平移量”，其實(shí)質(zhì)是高中數(shù)學(xué)將要學(xué)習(xí)的“向量”，高中物理將要學(xué)習(xí)的“矢量”.

例4 （天臺(tái)2010年學(xué)年八上22題）先閱讀，后解題：（試題部分略）

【即學(xué)即用】解方程：x3-16x=0.

請(qǐng)你自己來(lái)定義：該方程屬于_____________方程.

在七、八年級(jí)同學(xué)的認(rèn)知體系中“一元三次方程”的概念是“新”的知識(shí)，但只要與“一元一次方程”的概念作類(lèi)比，理解了“一元”是指方程中只含有一個(gè)未知數(shù)，“一次”是指未知數(shù)的次數(shù)為1，“方程”必須是整式方程，那么本題也迎刃而解了.

第三類(lèi)是“課程標(biāo)準(zhǔn)”里沒(méi)有，以后也學(xué)不到的，就像歷史上的“野史”，只是為了創(chuàng)新而給出的滿(mǎn)足一定關(guān)系的一類(lèi)定義.如例5中的“中和函數(shù)”，

例5（2011年新昌模擬題20題）定義：已知反比例函數(shù)y=如果存在函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)y=為這兩個(gè)函數(shù)的中和函數(shù).

三、“新定義”問(wèn)題解題的思路與復(fù)習(xí)建議

1.回歸到教材和新課標(biāo)要求的“原定義”去詮釋“新定義”，（因?yàn)椤霸痹谠~典里解釋之一為“起源；根本；根由”）即用已經(jīng)掌握和熟悉的數(shù)學(xué)“原定義”，通過(guò)對(duì)比、聯(lián)想、遷移等數(shù)學(xué)手段，去理解未知的或陌生的問(wèn)題指向的數(shù)學(xué)知識(shí)，不妨稱(chēng)之為“還原法”.

2.解題三步曲：“熟讀”、“理解”與“應(yīng)用”

根據(jù)提供的新定義，要充分挖掘概念的內(nèi)涵與外延，對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)鍵字、詞要化抽象為具體.有實(shí)例的對(duì)照實(shí)例解讀，沒(méi)有實(shí)例的，自己列舉數(shù)據(jù)或圖形簡(jiǎn)單的實(shí)例，以加深對(duì)“新定義”的理解.應(yīng)用“新定義”解決問(wèn)題是重點(diǎn)，要緊扣題意，層層遞進(jìn).

例6 （2011杭州市西湖區(qū)模擬）如圖1，將一張直角三角形紙片△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對(duì)稱(chēng)軸EF折疊，這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形（其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合成的無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形），我們稱(chēng)這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”.

圖1

圖2 圖3

（1）如圖2，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出折痕.

（2）如圖3，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫(huà)出一個(gè)斜三角形ABC，使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形.

（3）若一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿(mǎn)足的條件是什么？

分析：在解答本題時(shí)，首先要仔細(xì)研讀題中對(duì)“疊加矩形”所下的定義，同時(shí)要積極利用手頭的材料（如草稿紙）進(jìn)行操作，只有理解了“疊加矩形”是指兩個(gè)特殊關(guān)系的“全等矩形”，尤其是括號(hào)里的注釋絕不要放過(guò)，“其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形”，“另一個(gè)是拼合成的無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形”，題意清楚的告訴我們，是一個(gè)“內(nèi)接矩形”和一個(gè)“拼接矩形”的“重疊關(guān)系”；其次，通過(guò)對(duì)（1）的解答，進(jìn)一步理清了題目指向“圖形的軸對(duì)稱(chēng)變換”；當(dāng)然.隨著（2）中“疊加矩形”為正方形的要求的提高，必須要回歸到課本關(guān)于正方形的“原定義”——“一組鄰邊相等的矩形是正方形”，最后運(yùn)用“逆向思維”得出“三角形一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等的直角三角形或銳角三角形”能夠使“疊加矩形”為正方形，問(wèn)題（3）也同時(shí)解決了.

3.要以“變式訓(xùn)練”為復(fù)習(xí)平臺(tái)，有效開(kāi)展復(fù)習(xí)工作.在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中總是要對(duì)概念下定義，而且一定會(huì)用一些已知的概念來(lái)定義新的概念，所以，我們要以教材和新課標(biāo)的“原概念”所反映的本質(zhì)屬性為本，化“新定義”為“原定義（概念）”，只有這樣，才能極快消除思維障礙，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考和探究，才能使學(xué)生具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)造性能力.

例7（2010年?yáng)|陽(yáng)市）閱讀材料，尋找共同存在的原規(guī)律，有一個(gè)運(yùn)算程序：a⊕b=n，可以使（a+c）⊕b=n+c，a⊕（b+c）=n－2c，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010=______.

分析：按照題目給出的運(yùn)算程序，程序二（a+c）⊕b=n+c可以轉(zhuǎn)化為（a+c）⊕b=a⊕b+c，該運(yùn)算可以與常規(guī)的“分配律”相比較，程序二的結(jié)果為“a與b這種新運(yùn)算的結(jié)果與c的和”；同理，程序三的結(jié)果為“a與b這種新運(yùn)算的結(jié)果與c的2倍的差”.這樣，把題中的程序所隱含的運(yùn)算“翻譯”為常規(guī)運(yùn)算后，問(wèn)題也就顯得簡(jiǎn)單了.

變式題1：把條件1⊕1=2改為3⊕5=2，求2010⊕2010=_________.

變式題2：把條件1⊕1=2改為2009⊕2009=2，求2012⊕2012=_________.

數(shù)學(xué)“新定義”與數(shù)學(xué)“創(chuàng)新”是形影不離的，教師要因地制宜開(kāi)展以“新定義”為載體的例題、考題的編寫(xiě)與滲透，讓學(xué)生早接觸、多領(lǐng)會(huì)，以達(dá)到使他們敢于迎“新”而上的目的.

例8（2011學(xué)年“臺(tái)州八校聯(lián)考”九上期中考）我們給出如下定義：點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，我們稱(chēng)以PA，PB，PC為邊構(gòu)成的新三角形為原三角形的“聯(lián)誼三角形”.

（1）如圖4，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB=150°，∠BPC=120°，∠APC=90°，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP′，連接PP′，請(qǐng)判斷△CPP′是不是△ABC的“聯(lián)誼三角形”.若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該“聯(lián)誼三角形”各內(nèi)角的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若等邊△ABC的“聯(lián)誼三角形”是等腰直角三角形（設(shè)PB=PC），分別求∠APB，∠APC，∠BPC的度數(shù)？

（3）若∠APB=α°，∠BPC=β°，∠APC=γ°，則“聯(lián)誼三角形”各內(nèi)角的度數(shù)分別為_(kāi)_____，___，____.（直接用含α或β或γ的式子表示）

圖4

中考復(fù)習(xí)沒(méi)有捷徑，無(wú)論怎樣的“新定義”問(wèn)題還是它滋生的新問(wèn)題，只要回歸到課本的原定義和常規(guī)的思考方法上來(lái)，不管它的內(nèi)涵多深、規(guī)律多繁、運(yùn)算多復(fù)雜，也一定能輕松攻克.