例析新定義試題的實踐與思考

☉浙江省天臺縣教育局教研室 丁福珍

縱觀臺州市近幾年中考試題，涉及“新定義”的考題頻頻亮相，細品一下，也是數學教學和中考的必然要求，《2012考試說明·數學》考試要求C級之一“能在理解的基礎上，把對象運用到新的情景中”；命題要求之一“讓學生通過閱讀，理解試題中的數量關系或圖形的位置關系，經過適當的推理、判斷或探索其中的規律解決相關問題”.而“新定義”題型的選用能使“考試要求”和“命題要求”和諧，并能取得“雙贏”的效果.

“數學概念是客觀事物關于數和形的本質屬性的反映，是構建數學理論大廈的基石，是導出數學定理和法則的邏輯基礎，是數學學科的系統和靈魂”.“新定義”，重在“新”，即課本中沒有直接提出的數學概念或命題，卻能用學生已經掌握的概念詮釋的一類源于課本而高于課本的命題.通過以“新定義”為載體的學業考查，能較有效反映學生的數學修養、數學思考能力、數學問題的解決能力等.

下面筆者以近幾年數學考題中的“新定義”為例，談談對“新定義”一類題的思考.

一、從“新定義”結合點來看

一是與“數與式”相結合，“新”在概念.例如2009年臺州市第10題的“完全對稱式”；2006年浙江省卷23題的“神秘數”.

例1 如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20這三個數都是神秘數.

（1）28和2012這兩個數是神秘數嗎？為什么？

二是與“基本圖形”相結合，“新”在名稱，是滿足一定條件的“特殊圖形”.例如臺州市2009年的“凸四邊形的準內點”和2011年壓軸題中的“拋物線的伴隨四邊形”，“拋物線的伴隨直線”；2007年鄂爾多斯市25題的“勾股四邊形”.

例2 我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱.

三是與運算相結合，“新”在運算順序和法則.

例3 （2006年嘉興市）定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，結果為3n+5；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數 ），并且運算重復進行.例如，取n=26，則：

若n=449，則第449次“F運算”的結果是___.

二、從“新定義”形成的背景來看

第一類是課本知識的延伸、拓展、變式.如臺州市2006年考到的“點與圓的距離”、“相似梯形”.

第二類是有待于去學習和即將要學習到的數學概念、定義.如臺州市2010年考到的“平移量”，其實質是高中數學將要學習的“向量”，高中物理將要學習的“矢量”.

例4 （天臺2010年學年八上22題）先閱讀，后解題：（試題部分略）

【即學即用】解方程：x3-16x=0.

請你自己來定義：該方程屬于_____________方程.

在七、八年級同學的認知體系中“一元三次方程”的概念是“新”的知識，但只要與“一元一次方程”的概念作類比，理解了“一元”是指方程中只含有一個未知數，“一次”是指未知數的次數為1，“方程”必須是整式方程，那么本題也迎刃而解了.

第三類是“課程標準”里沒有，以后也學不到的，就像歷史上的“野史”，只是為了創新而給出的滿足一定關系的一類定義.如例5中的“中和函數”，

例5（2011年新昌模擬題20題）定義：已知反比例函數y=如果存在函數則稱函數y=為這兩個函數的中和函數.

三、“新定義”問題解題的思路與復習建議

1.回歸到教材和新課標要求的“原定義”去詮釋“新定義”，（因為“原”在詞典里解釋之一為“起源；根本；根由”）即用已經掌握和熟悉的數學“原定義”，通過對比、聯想、遷移等數學手段，去理解未知的或陌生的問題指向的數學知識，不妨稱之為“還原法”.

2.解題三步曲：“熟讀”、“理解”與“應用”

根據提供的新定義，要充分挖掘概念的內涵與外延，對數學關鍵字、詞要化抽象為具體.有實例的對照實例解讀，沒有實例的，自己列舉數據或圖形簡單的實例，以加深對“新定義”的理解.應用“新定義”解決問題是重點，要緊扣題意，層層遞進.

例6 （2011杭州市西湖區模擬）如圖1，將一張直角三角形紙片△ABC折疊，使點A與點C重合，這時DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再繼續將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊，這時得到了兩個完全重合的矩形（其中一個是原直角三角形的內接矩形，另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形），我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形”.

圖1

圖2 圖3

（1）如圖2，正方形網格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請在圖2中畫出折痕.

（2）如圖3，在正方形網格中，以給定的BC為一邊，畫出一個斜三角形ABC，使其頂點A在格點上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形.

（3）若一個三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是什么？

分析：在解答本題時，首先要仔細研讀題中對“疊加矩形”所下的定義，同時要積極利用手頭的材料（如草稿紙）進行操作，只有理解了“疊加矩形”是指兩個特殊關系的“全等矩形”，尤其是括號里的注釋絕不要放過，“其中一個是原直角三角形的內接矩形”，“另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形”，題意清楚的告訴我們，是一個“內接矩形”和一個“拼接矩形”的“重疊關系”；其次，通過對（1）的解答，進一步理清了題目指向“圖形的軸對稱變換”；當然.隨著（2）中“疊加矩形”為正方形的要求的提高，必須要回歸到課本關于正方形的“原定義”——“一組鄰邊相等的矩形是正方形”，最后運用“逆向思維”得出“三角形一邊長與該邊上的高相等的直角三角形或銳角三角形”能夠使“疊加矩形”為正方形，問題（3）也同時解決了.

3.要以“變式訓練”為復習平臺，有效開展復習工作.在一個科學系統中總是要對概念下定義，而且一定會用一些已知的概念來定義新的概念，所以，我們要以教材和新課標的“原概念”所反映的本質屬性為本，化“新定義”為“原定義（概念）”，只有這樣，才能極快消除思維障礙，才能促進學生對數學問題的思考和探究，才能使學生具有良好數學素養和創造性能力.

例7（2010年東陽市）閱讀材料，尋找共同存在的原規律，有一個運算程序：a⊕b=n，可以使（a+c）⊕b=n+c，a⊕（b+c）=n－2c，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010=______.

分析：按照題目給出的運算程序，程序二（a+c）⊕b=n+c可以轉化為（a+c）⊕b=a⊕b+c，該運算可以與常規的“分配律”相比較，程序二的結果為“a與b這種新運算的結果與c的和”；同理，程序三的結果為“a與b這種新運算的結果與c的2倍的差”.這樣，把題中的程序所隱含的運算“翻譯”為常規運算后，問題也就顯得簡單了.

變式題1：把條件1⊕1=2改為3⊕5=2，求2010⊕2010=_________.

變式題2：把條件1⊕1=2改為2009⊕2009=2，求2012⊕2012=_________.

數學“新定義”與數學“創新”是形影不離的，教師要因地制宜開展以“新定義”為載體的例題、考題的編寫與滲透，讓學生早接觸、多領會，以達到使他們敢于迎“新”而上的目的.

例8（2011學年“臺州八校聯考”九上期中考）我們給出如下定義：點P是等邊△ABC內一點，連接PA，PB，PC，我們稱以PA，PB，PC為邊構成的新三角形為原三角形的“聯誼三角形”.

（1）如圖4，點P是等邊△ABC內一點，且∠APB=150°，∠BPC=120°，∠APC=90°，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°到△ACP′，連接PP′，請判斷△CPP′是不是△ABC的“聯誼三角形”.若是，請說明理由，并求出該“聯誼三角形”各內角的度數；若不是，請說明理由.

（2）若等邊△ABC的“聯誼三角形”是等腰直角三角形（設PB=PC），分別求∠APB，∠APC，∠BPC的度數？

（3）若∠APB=α°，∠BPC=β°，∠APC=γ°，則“聯誼三角形”各內角的度數分別為______，___，____.（直接用含α或β或γ的式子表示）

圖4

中考復習沒有捷徑，無論怎樣的“新定義”問題還是它滋生的新問題，只要回歸到課本的原定義和常規的思考方法上來，不管它的內涵多深、規律多繁、運算多復雜，也一定能輕松攻克.