初中數學領域的——淺談有理數的學習

☉江蘇省連云港市板浦初級中學 茆慶東

有理數是初中數學的開局之篇，教學實踐中有許多學生因學習不得法而遲遲不能入門，嚴重影響了學生后來的數學學習.那么怎樣才能開好這個頭呢？筆者以為教學中必須用全新的理念對學生的學習加以指導.

數學是初中課程中重要學科之一，《有理數》則是步入這一學科的重要門戶.多年的教學實踐表明，剛剛入學的新生很難在短時間內入門，特別是由于負數的引進無疑是學生的一道門坎.那么怎樣才能順利敲開這扇門呢？

一、知識梳理：散珠穿鏈

散落的珍珠之所以不能成為精美的項鏈，是因為缺少一根主線.學習也一樣，負數的引進，使我們在小學數學的基礎上更進一步完善了對整數、分數、正數、負數、零等數的意義的認識，同時掌握有理數的分類概念.通過對數軸還認識了有理數的絕對值與相反數的意義，借助數軸進行有理數的大小比較，并在此基礎上著重研究了有理數的加、減、乘、除、乘方等五種基本運算.但是這些知識是零散的，不系統的，為此可作如下整理：

1.有理數的基本關概念.

（1）有理數包括：正有理數、0和負有理數，也可敘述為整數與分數統稱為有理數.

（2）數軸的三要素指：原點、正方向和單位長度.

（3）絕對值：一個有理數的絕對值就是該數在數軸上表示的點與原點的距離.

（4）互為相反數是指：符號不同，絕對值相同的兩個數.

2.有理數的基本運算（一般僅指兩個數）.

（1）有理數的加法運算.

同號相加：取相同符號并把絕對值相加.

異號相加：取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.特別地互為相反數的和為零.

（2）有理數的減法運算即轉化為加法進行運算.被減數減去減數等于被減數加上減數的相反數.

（3）有理數的乘法運算.

同號相乘：取正號并把絕對值相乘.

異號相乘：取負號并把絕對值相乘.

一個數與零相乘積仍然得零.

（4）有理數的除法運算即轉化為乘法進行運算.被除數除以除數等于被除數乘以除數的倒數.

特別地，幾個不等于零的數相乘，如果負因數的個數為奇數時積為負數，如果負因數的個數為偶數時積為正數.

（5）有理數的乘方運算：求n個相同因數的積的運算叫做乘方.有理數的乘方運算通常轉化為有理數的乘法進行計算，即某個數的n次冪等于n個某數的乘積.

（6）有理數的混合運算：先乘方、再乘除、最后算加減，整體上統一于有括號要先算括號內.

綜上所述，有理數的加法、減法、乘法、除法、乘方等五種基本運算，歸根結底就是有理數的加法、乘法的兩種運算，因為有理數的減法運算可以轉化為加法進行計算，有理數的除法、乘方運算可以轉化為乘法進行計算.

二、重點、難點分析：提綱挈領

1.重點分析：有理數的認識及其分類、數軸的意義、絕對值與相反數的意義、有理數的大小比較、有理數的加法、減法、乘法、除法乘方及其混合運算.

2.難點分析：負數的引進、零的意義的再認識、對有理數的分類及分類思想的領會、數形結合的思想方法、集合思想的初步滲透、有理數的各類運算法則的理解及靈活運用到實際運算中.

三、重要的數學思想方法：點燃亮點

負數的引進使有理數賦予了新的內涵，由此分類思想方法便得以應運而生，更由于數軸的誕生，數形結合的思想方法有了很好的載體，這也是本章學習中極其閃光的亮點.在有理數的各級運算中，還貫穿著另一個重要的數學思想方法，即化歸思想，比如在學習了有理數的加法、乘法運算的背景下很容易的就能解決有理數的減法、除法及乘方運算.即使是有理數的加法運算，除了符號問題外，也僅僅就是小學里所學加減法運算而已.其他諸如分類思想、整體思想、集合思想也具有重要地位.當然對數學思想方法的認識不要僅僅停留在概念上，而是要有機地結合到具體的問題中，因此這里有一個逐步滲透的過程.

四、考點例析：牽頭引路

題型以基本概念及其基本計算較為單一的知識點為主的題型居多，主要目的是考查學生對有理數的有關概念的理解，對有理數的各類基本運算的熟練掌握，在此基礎上也會出現一些難度較大的綜合題.

題例如下：

單一型題

例1 填空：數軸上原點左邊的點表示_______，原點右邊的點表示_______，原點表示_______.

評析：對數軸理解、數形結合思想的領會.

例2 填空：-（-3.5）=_____，-｜-3.5｜=______.-［-（-3.5）］=_____，-｜-｜-3.5｜=______.

評析：對相反數、絕對值的意義的理解.

例3 選擇題：如果a<0，那么│a│=_____（ ）.

評析：對相反數、絕對值、倒數的意義的理解，有理數分類思想的感受.

綜合型題

例4 如果（a+2）2+│b-3│=0，求：a2+b3的值.

評析：這類問題通常是以兩個非負數的和為零作條件，由于非負數和是零，所以兩個數必然為零.

五、錯題剖析：指點迷津

所謂易錯題，主要表現在學生對教材中的基本概念理解不完全、或理解不正確而導致在實際解體中漏解或錯解，其常見情況如下.

例5 （1）已知：｜a｜=3，｜b｜=2，求a+b的值.

漏解如下：因為｜a｜=3，｜b｜=2，所以a=±3，b=±2.

所以a+b=3+2=5或a+b=-3+（-2）=-5.

評析：顯然上題的解題過程屬于漏解現象.主要表現為對分類思想認識不到位.要避免這樣的錯誤發生，平時學習中就要養成良好的學習習慣，遇到問題要耐心細致地分析，特別是由已知條件所得的結論不唯一時，要一一列舉，必要時還要對列舉的結論進行逐一篩查，確保所得結論準確無誤.

六、中考考點鏈接：小試牛刀

限于有理數在初中數學教材中的地位，體現在中考試卷中絕大部分為理解基本概念類的單一題型為主，主要涉及面為有理數的分類、絕對值、相反數、倒數以及各級運算等.

例6 （2011年義烏）-3的絕對值是（ ）.

例7（2011年臺北）已知世運會、亞運會、奧運會分別于公元2009年、2011年、2012年舉辦，若這三項運動會均每四年舉辦一次，則這三項運動會均不在下列哪一年舉辦（ ）.

A.公元2070年 B.公元2071年

C.公元2072年 D.公元2073年

萬丈高樓平地起，作為初中數學的開局之篇《有理數》一章，我們必須在熟練掌握基本知識的前提下，深入理解其中的基本概念，比如有理數的分類、數軸的意義、絕對值相反數的意義、有理數的乘方的意義及其各級運算法則等.加強對有理數運算能力的培養，不斷提高自己的計算準確率，初步感受數形結合、劃歸、分類等重要的數學思想方法，進而自覺養成發現問題、探索問題、解決問題的能力.積極發展自己的創新思維，在學習中注重與同學之間的合作與交流，注意知識的不斷積累與總結，在新舊知識的不斷交替中培養自己耐心、細致、嚴密的思維品質，為今后更進一步學習打下堅實的基礎.