初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域的——淺談有理數(shù)的學(xué)習(xí)

☉江蘇省連云港市板浦初級中學(xué) 茆慶東

有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)的開局之篇，教學(xué)實(shí)踐中有許多學(xué)生因?qū)W習(xí)不得法而遲遲不能入門，嚴(yán)重影響了學(xué)生后來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).那么怎樣才能開好這個頭呢？筆者以為教學(xué)中必須用全新的理念對學(xué)生的學(xué)習(xí)加以指導(dǎo).

數(shù)學(xué)是初中課程中重要學(xué)科之一，《有理數(shù)》則是步入這一學(xué)科的重要門戶.多年的教學(xué)實(shí)踐表明，剛剛?cè)雽W(xué)的新生很難在短時間內(nèi)入門，特別是由于負(fù)數(shù)的引進(jìn)無疑是學(xué)生的一道門坎.那么怎樣才能順利敲開這扇門呢？

一、知識梳理：散珠穿鏈

散落的珍珠之所以不能成為精美的項(xiàng)鏈，是因?yàn)槿鄙僖桓骶€.學(xué)習(xí)也一樣，負(fù)數(shù)的引進(jìn)，使我們在小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步完善了對整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、零等數(shù)的意義的認(rèn)識，同時掌握有理數(shù)的分類概念.通過對數(shù)軸還認(rèn)識了有理數(shù)的絕對值與相反數(shù)的意義，借助數(shù)軸進(jìn)行有理數(shù)的大小比較，并在此基礎(chǔ)上著重研究了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方等五種基本運(yùn)算.但是這些知識是零散的，不系統(tǒng)的，為此可作如下整理：

1.有理數(shù)的基本關(guān)概念.

（1）有理數(shù)包括：正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)，也可敘述為整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

（2）數(shù)軸的三要素指：原點(diǎn)、正方向和單位長度.

（3）絕對值：一個有理數(shù)的絕對值就是該數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

（4）互為相反數(shù)是指：符號不同，絕對值相同的兩個數(shù).

2.有理數(shù)的基本運(yùn)算（一般僅指兩個數(shù)）.

（1）有理數(shù)的加法運(yùn)算.

同號相加：取相同符號并把絕對值相加.

異號相加：取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.特別地互為相反數(shù)的和為零.

（2）有理數(shù)的減法運(yùn)算即轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算.被減數(shù)減去減數(shù)等于被減數(shù)加上減數(shù)的相反數(shù).

（3）有理數(shù)的乘法運(yùn)算.

同號相乘：取正號并把絕對值相乘.

異號相乘：取負(fù)號并把絕對值相乘.

一個數(shù)與零相乘積仍然得零.

（4）有理數(shù)的除法運(yùn)算即轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行運(yùn)算.被除數(shù)除以除數(shù)等于被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù).

特別地，幾個不等于零的數(shù)相乘，如果負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時積為負(fù)數(shù)，如果負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時積為正數(shù).

（5）有理數(shù)的乘方運(yùn)算：求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方.有理數(shù)的乘方運(yùn)算通常轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法進(jìn)行計算，即某個數(shù)的n次冪等于n個某數(shù)的乘積.

（6）有理數(shù)的混合運(yùn)算：先乘方、再乘除、最后算加減，整體上統(tǒng)一于有括號要先算括號內(nèi).

綜上所述，有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方等五種基本運(yùn)算，歸根結(jié)底就是有理數(shù)的加法、乘法的兩種運(yùn)算，因?yàn)橛欣頂?shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計算，有理數(shù)的除法、乘方運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析：提綱挈領(lǐng)

1.重點(diǎn)分析：有理數(shù)的認(rèn)識及其分類、數(shù)軸的意義、絕對值與相反數(shù)的意義、有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法乘方及其混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)分析：負(fù)數(shù)的引進(jìn)、零的意義的再認(rèn)識、對有理數(shù)的分類及分類思想的領(lǐng)會、數(shù)形結(jié)合的思想方法、集合思想的初步滲透、有理數(shù)的各類運(yùn)算法則的理解及靈活運(yùn)用到實(shí)際運(yùn)算中.

三、重要的數(shù)學(xué)思想方法：點(diǎn)燃亮點(diǎn)

負(fù)數(shù)的引進(jìn)使有理數(shù)賦予了新的內(nèi)涵，由此分類思想方法便得以應(yīng)運(yùn)而生，更由于數(shù)軸的誕生，數(shù)形結(jié)合的思想方法有了很好的載體，這也是本章學(xué)習(xí)中極其閃光的亮點(diǎn).在有理數(shù)的各級運(yùn)算中，還貫穿著另一個重要的數(shù)學(xué)思想方法，即化歸思想，比如在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法、乘法運(yùn)算的背景下很容易的就能解決有理數(shù)的減法、除法及乘方運(yùn)算.即使是有理數(shù)的加法運(yùn)算，除了符號問題外，也僅僅就是小學(xué)里所學(xué)加減法運(yùn)算而已.其他諸如分類思想、整體思想、集合思想也具有重要地位.當(dāng)然對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識不要僅僅停留在概念上，而是要有機(jī)地結(jié)合到具體的問題中，因此這里有一個逐步滲透的過程.

四、考點(diǎn)例析：牽頭引路

題型以基本概念及其基本計算較為單一的知識點(diǎn)為主的題型居多，主要目的是考查學(xué)生對有理數(shù)的有關(guān)概念的理解，對有理數(shù)的各類基本運(yùn)算的熟練掌握，在此基礎(chǔ)上也會出現(xiàn)一些難度較大的綜合題.

題例如下：

單一型題

例1 填空：數(shù)軸上原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示_______，原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示_______，原點(diǎn)表示_______.

評析：對數(shù)軸理解、數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)會.

例2 填空：-（-3.5）=_____，-｜-3.5｜=______.-［-（-3.5）］=_____，-｜-｜-3.5｜=______.

評析：對相反數(shù)、絕對值的意義的理解.

例3 選擇題：如果a<0，那么│a│=_____（ ）.

評析：對相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義的理解，有理數(shù)分類思想的感受.

綜合型題

例4 如果（a+2）2+│b-3│=0，求：a2+b3的值.

評析：這類問題通常是以兩個非負(fù)數(shù)的和為零作條件，由于非負(fù)數(shù)和是零，所以兩個數(shù)必然為零.

五、錯題剖析：指點(diǎn)迷津

所謂易錯題，主要表現(xiàn)在學(xué)生對教材中的基本概念理解不完全、或理解不正確而導(dǎo)致在實(shí)際解體中漏解或錯解，其常見情況如下.

例5 （1）已知：｜a｜=3，｜b｜=2，求a+b的值.

漏解如下：因?yàn)椋黙｜=3，｜b｜=2，所以a=±3，b=±2.

所以a+b=3+2=5或a+b=-3+（-2）=-5.

評析：顯然上題的解題過程屬于漏解現(xiàn)象.主要表現(xiàn)為對分類思想認(rèn)識不到位.要避免這樣的錯誤發(fā)生，平時學(xué)習(xí)中就要養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，遇到問題要耐心細(xì)致地分析，特別是由已知條件所得的結(jié)論不唯一時，要一一列舉，必要時還要對列舉的結(jié)論進(jìn)行逐一篩查，確保所得結(jié)論準(zhǔn)確無誤.

六、中考考點(diǎn)鏈接：小試牛刀

限于有理數(shù)在初中數(shù)學(xué)教材中的地位，體現(xiàn)在中考試卷中絕大部分為理解基本概念類的單一題型為主，主要涉及面為有理數(shù)的分類、絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)以及各級運(yùn)算等.

例6 （2011年義烏）-3的絕對值是（ ）.

例7（2011年臺北）已知世運(yùn)會、亞運(yùn)會、奧運(yùn)會分別于公元2009年、2011年、2012年舉辦，若這三項(xiàng)運(yùn)動會均每四年舉辦一次，則這三項(xiàng)運(yùn)動會均不在下列哪一年舉辦（ ）.

A.公元2070年 B.公元2071年

C.公元2072年 D.公元2073年

萬丈高樓平地起，作為初中數(shù)學(xué)的開局之篇《有理數(shù)》一章，我們必須在熟練掌握基本知識的前提下，深入理解其中的基本概念，比如有理數(shù)的分類、數(shù)軸的意義、絕對值相反數(shù)的意義、有理數(shù)的乘方的意義及其各級運(yùn)算法則等.加強(qiáng)對有理數(shù)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，不斷提高自己的計算準(zhǔn)確率，初步感受數(shù)形結(jié)合、劃歸、分類等重要的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而自覺養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力.積極發(fā)展自己的創(chuàng)新思維，在學(xué)習(xí)中注重與同學(xué)之間的合作與交流，注意知識的不斷積累與總結(jié)，在新舊知識的不斷交替中培養(yǎng)自己耐心、細(xì)致、嚴(yán)密的思維品質(zhì)，為今后更進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅實(shí)的基礎(chǔ).