“基礎”“能力”兩手硬“清淡”“麻辣”一卷香——2012年四川省高考數學“草根”評說

☉四川省巴中中學 肖 斌（特級教師）

“基礎”“能力”兩手硬“清淡”“麻辣”一卷香
——2012年四川省高考數學“草根”評說

☉四川省巴中中學 肖 斌（特級教師）

硝煙散盡，塵埃落定.2012年四川省高考數學以其色鮮味美、“清香”、“麻辣”的經典“川味”吸引各界關注的目光.

筆者在數學剛剛考完的第一時間，詢問一個個走下考場的學生.“前面一些題不難”、“16題不知所措”、“去年考取北大、數學考了142分的復讀高人今年也沒有把最后兩大題做完”、“今年數學太變態”……考生或一臉輕松，或一臉茫然，我不由驚愕.

我拼命在網上搜索，也不斷向筆友打聽.直到第三天下午我才在網上一睹高考數學四川卷的“真面目”.幾番演算、幾番思辨、幾番尋根溯源、幾番延伸拓展，考生的遺憾掩飾不住我的震撼……試題征服了我.

總的說來，2012年高考數學四川卷遵循《考試大綱》及《考試說明（四川版）》的要求，保持了近幾年四川卷的“清淡為主、麻辣到位”的命題風格.一方面，立足于數學教材、回歸數學本源、重視數學基礎知識和基本技能的考查，在題型、題量、難度等方面保持了相對穩定，覆蓋了高中數學的核心考點.另一方面，突出能力立意和命題創新，加強對數學思想方法的考查和數學能力的檢測.以它強烈的基礎性、挑戰性、開創性以及充盈理趣、情趣的巴蜀文化氣息描繪了一個多姿多彩的數學世界.做到了：有利于高校選拔新生，有利于中學實施素質教育，有利于舊大綱向新課標高考銜接過渡.可謂“基礎”“能力”兩手硬，“清淡”“麻辣”一卷香，是一套成功精彩的試卷.

下面筆者從一線“草根”的角度，秉筆直書，暢所欲言.談談所聽所見所思所感，談談有關2012年高考數學四川卷的是非功過、成敗得失.

一、根植課本重基礎，平和穩定是主流

我們每天使用的數學課本是國家組織一流教育專家、學者精心編著的，其中許多例、習題不乏典范性、代表性和可發展性.課本是學生學習的主要工具，自然應該作為考試的主要依據.高考雖然是選拔性考試，但也必須起步于基礎.近幾年來的高考命題改革，把突出能力考查放在了改革的首位，但并沒有放松對基礎知識的考查.2012年四川高考數學卷，高舉“基礎”、“常規”、“課本”三面大旗，貼近教情、學情、省情，給人以平和、平靜、平易近人的好感.這就是適應四川省大多數考生口味的高考數學“清香味”.

今年四川高考數學試題貼近高中課堂，立足于教材而不拘泥于教材，背景熟、入口寬、方法多，給人平和樸實、似曾相識的感覺.有超過一半的試題是以課本例、習題為“題根”的變式題.具體表現為三個層次：

（1）選編原題、信手仿制.即有不少題目直接取自教材，或是課本基本概念、公式、例題、習題的簡單改編.有文、理科1～8題，13、14題共10個小題.

（2）串聯方法、綜合習題.即有的題目是教材中幾個題目或幾種方法的串聯或并聯、綜合與拓展.有文、理科9、10、15、17、18、19共4個小題2個大題.

（3）活加層次、動添參數.即通過增加題目的層次，設置隱含陷阱、引進討論的參數，改變設問的方向，提高題目的靈活性和綜合性.有文、理科20、21兩個大題.

這些“變式題”源于教材、活于教材，重視對基礎理論和通性通法的考查，成為考生人見人愛的“開胃菜”.特別值得一提的是理科21（Ⅰ）題即為人教大綱版高中數學第二冊（上）復習參考題八的B組第3題.這讓我們想起2010年四川高考數學中證明“兩角和的正、余弦公式”.看來，出于重視基礎、回歸課本的良苦用心，四川高考是不回避直接考查教科書現成習題、公式的.

理科21題：如圖1，動點M與兩定點A（-1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程；

圖1

點評：本題主要考查直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎知識，考查思維能力、運算能力，考查函數與方程、分類與整合等思想，并考查思維的嚴謹性.根植課本重基礎，推陳出新考能力.文科21題題干和第（1）問的難度比理科略小.

試卷背景的取向靠近教材和考生的學習實際，讓考生處于一個較為平和、親切的氛圍中，以增強解題信心.這些根植于教材的題目背景熟悉、運算量不大.能較好考查學生的基本數學素養，有利于引導中學數學教學克服“題海戰術”和“魔鬼訓練”，真正回歸教材、重視課本、減負增效、實施素質教育，也充分體現了試題背景的公平性.此外，在國家提升高考考試密級的今天，“用課本編擬高考題”也是命題組規避保密風險、減少輿論壓力、善于明哲保身的高智商之舉.

根植課本重基礎，平和穩定是主流.高三的教學與復習，應當緊抓課本不放松.將課本的知識、問題熟悉化，在變化的過程中學習新知，獲得解答問題的技能.變化時需要將問題適度發展、改造、組合、串聯、并聯，形成題組，使知識的獲得、能力的形成放植于有效訓練的過程里.課本“變式教學”是避免“題海戰術”和“以教輔代教材”的高招、是“素質教育”與“應試教育’的完美雙贏，是最具中國特色的數學高效教學法，是當今高考復習應考的法寶.廣大一線師生要自覺地主動地培養“變式教”與“變式學”的技能和習慣.

二、主干考查主旋律，能力立意是亮點

1.全面考查，突出主干

試卷既重視基礎知識的全面考查，又突出主干知識的重點考查.基礎題主要考查高中數學最基本的概念，中檔題一般在知識的交匯點處考查主干知識，而有一定難度的題目則需要數學思維能力很強的考生才可能做好.全卷涉及的知識點覆蓋了整個高中數學教材的所有知識板塊，對高中數學教材的六大類主干知識，即函數與導數類、數列與不等式類、三角與向量類、解析幾何類、立體幾何類、概率與統計類等都進行了重點考查.各主干知識出題個數、分值與《考試說明（四川版）》、《教學大綱》規定的各主干內容教學時數大致相當.

理科考查函數和導數的有4個選擇、2個填空、4個解答共10個題目，涉及分值60多分.具體是：3題有關函數極限，5題有關指數函數圖像，9題有關線性規劃目標函數最值應用題，12題有關函數、三角函數、數列求值、單調性，15題有關目標函數最值，16題有關高斯函數信息遷移，18題有關三角函數周期、值域、整體變角求值，20題有關對數函數、二次函數及特殊函數（數列）的單調性、前n項和的最值，21（Ⅱ）題有關二次函數實根分布，22題有關二次函數求導及構造新函數求導、求最值、證明輔助不等式（文科還多考了一個求簡單無理函數的定義域，即13題）.

理科考查數列的題有1個選擇、1個填空、2個大題共4個題目，分值25分左右，這些題全是把關題，兩個小題更是選擇、填空的壓軸題.具體是：以數列為載體的12、16題，20題則是遞推數列中求特殊項、通項以及轉化為等比、等差數列后求前n項和的最值，22（Ⅲ）題涉及等比數列求和（文科有相應運算量略小的姊妹題）.今年數列解答題比前幾年降了溫，但小題難度卻很大，看來四川高考數學喜歡把數列當“重頭戲”編寫劇本.究其原因，數列一直是高端思維的“富礦區”.

理科20題：已知數列｛an｝的前n項和為Sn，且a2an=S2+Sn對一切正整數n都成立.

（Ⅰ）求a1，a2的值；

點評：本小題主要從三個層面進行了考查.（一）知識層面：考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識；（二）能力層面：考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力；（三）數學思想層面：考查方程、分類與整合、化歸與轉化等思想.樸實靈動、不落俗套.

理科考查不等式的題目有1個選擇、1個填空、3個大題共5個題目，分值達30分.具體是：9題有關線性規劃最值應用題，16題有關高斯函數、數列為載體的不等關系判斷，20（Ⅱ）題有關利用不等關系判斷單調等差數列前n項和的最值，21（Ⅱ）題有關不等式解法及推導線段比值范圍，22后兩小題有關不等式證明及不等式恒成立問題（文科有相應運算量略小的姊妹題）.

文科16題：設a、b為正實數，現有下列命題：

其中的真命題有________.（寫出所有真命題的編號）

答案：①④

點評：本題考查等量關系下不等關系的識別.背景熟、解法靈活，兼具基礎考查和能力檢測.看似尋常卻奇妙，智商情商分高低.

理科考查向量、三角函數的題目有3個選擇、3個大題，分值達40多分.具體是：4題有關三角函數定義、和差角公式、正余弦定理，7題有關單位向量、共線向量，12題有關三角、函數、數列綜合求值題，18題有關三角函數中二倍角、降冪、輔助角公式、振幅、周期、變角法，19題有關利用法向量求線面角、二面角，21題求軌跡方程涉及二倍角公式（文科除21題外，其他有相應運算量略小的姊妹題）.

圖2

（Ⅰ）求ω的值及f（x）的值域；

點評：本題主要考查三角函數的圖像與性質、同角三角函數的關系、兩角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基礎知識，考查運算能力，考查數形結合、整體轉化等數學思想.三角函數圖像中巧妙“嵌入”內接正三角形，活而不難、平中見奇.

理科考查解析幾何的題目有3個選擇、1個填空、1個大題共5個題目，分值31分.具體是：8題有關拋物線焦半徑、距離公式，9題有關線性規劃最值應用題、11題有關以拋物線為背景的排列組合，15題有關橢圓焦點三角形周長、面積問題，21題有關斜率、兩直線到角公式、雙曲線軌跡方程、線段比值范圍問題等（文科有相應運算量略小的姊妹題）.

理科考查立體幾何的題目有2個選擇、1個填空、1個大題共4個題目，分值26分.具體是：6題有關空間線面位置關系，10題有關球面距離，14題異面直線所成的角，19題有關三棱錐中線面角、二面角問題（文科三個小題與理科相同，19題題干略簡易、問題與理科完全相同）.

理科考查“排組二”及概率統計類題目有2個選擇、2個大題，分值22分.具體是：1題二項式定理，11題排列組合，17概率、分布列、期望.11題有關排列組合，注重思維考查，較難.1、17題較簡單（文科還多考了統計3題）.

“全面考查、突出主干”的命題舉措，有利于引導高中數學教學在注重基礎知識的同時，突出重點、突破難點、解析疑點，把力用到“刀刃”上，避免“蜻蜓點水”、“眉毛胡子一把抓”，而是把復習的主要時間和精力用在主干知識的夯實與提升上.可謂“主干是個綱，綱舉目張”.

2.通法技巧，貫穿始終

數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，是數學的精髓，是對數學本質的理性認識，是數學學習的指導思想和普遍使用的通法，是高考考查的核心.

今年數學四川卷突出重點熱點、重視通法技巧，此特色貫穿于整個試卷之中.考查的數學思想方法有：數形結合思想，如理科第5、8、12、15、18、19等題，文科第4、9、12、15、19等題；分類與整合思想，如理科第11、20、21、22題，文科第11、20、22等題；函數與方程思想，文、理科第12、20、21、22等題；特殊與一般思想，文、理科12、16、20、22等題；轉化與化歸思想，在文、理科17題以及后面三個解答題中體現突出；坐標化思想，在19、21兩道立體幾何、解析幾何題中體現突出，而滲透其中的方程思想則是坐標化思想的核心.

特別指出，理科第12、16、22等壓軸題，其思維難度高、運算量大，但借助于直覺猜想、合理估算、反例構造、演繹推理等技巧，運用數形結合、函數與方程、特殊與一般等數學思想，則可走出“山重水復疑無路”的困境，迎來“柳暗花明又一村”的景色.

答案：D

點評：本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等差數列的性質和三角函數性質的綜合應用以及代數推理能力、計算能力，需考生加強知識系統化、網絡化學習.另外，cosa1+cosa2+…+cosa5=0隱蔽性較強，需要考生具備一定的觀察能力.

①當a=5時，數列｛xn｝的前3項依次為5，3，2；

②對數列｛xn｝都存在正整數k，當n≥k時總有xn=xk；

其中的真命題有________.（寫出所有真命題的編號）

答案：①③④

點評：此題難度極大，不容易尋找解題的切入點，特殊值列舉是很奏效的解決辦法.

通法是熟練了的技巧，技巧是陌生的通法，當我們對一種解題技巧有刻骨銘心的感受時，最易固化成我們心靈深處的通法.辨證地應用通法和技巧，有利于糾正“教學題型化”、“解題套路化”的片面做法，有利于訓練優生高品質的思維、提升他們應對把關題、壓軸題的綜合素養與應變能力.

3.能力立意，意在選拔

試卷以能力立意為核心，堅持多角度、多層次地考查數學能力.第18～22等題考查了邏輯思維能力和運算能力；第10、14、19等題，考查了空間想象能力；理科第9、17題，文科第3、17題考查了應用意識和閱讀理解能力；文理科第10、12、22等題及理科第16題考查了創新意識.如文、理科第16題是一道閱讀理解題，需要考生在考場上臨陣思考、學習和運用，也真正考查了學生對數學問題的理解和分析能力.一些試題重視對思維品質的考查，如理科第12、16、20、21、22題能有效考查考生數學思維的發散性、嚴謹性、深刻性和創造性，有利于甄別優中差.高考的核心就是一個選拔，嚴格的選拔就意味著激烈的競爭.激烈的競爭呼喚超凡脫俗的、富含思維價值的、具有挑戰性的高端原創試題.

試卷具有起點低、結尾高、入手易、深入難等特點，各類題型的起始題比較容易但壓軸題較難，6個解答題的入手都較容易但要解答完整卻并非易事.文、理科1～7題、13、14、（17）（Ⅰ）題，用較短時間就可完成.文、理科的11、12、16、21、22等題，知識的綜合性強并且能力要求高，對考生思維的靈活性、深刻性、批判性、創造性提出了較高要求，需要考生具有較強的數學能力，方可跳出“會而不對、對而不全”的怪圈.特別是文、理22題屬于高檔題，難度極大.命題人高屋建瓴，別具匠心.站在學科整體的高度，以拋物線、切線、截距等為載體，將函數、導數、不等式、二項式定理、數列等主干知識融為一體，檢測了分析法、放縮法、估算法、構造法、導數法、疊加法等數學基本方法，考查了函數與方程、化歸與轉化、特殊與一般、猜想與證明等數學重要思想.成為今年四川高考試卷的“壓軸戲”和“最美風景”.

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

三、命題創新大探索，支持課標新理念

今年是四川大綱版教材高考的最后一年，明年新課標下的高考將閃亮登場.目前新課程改革正如火如荼的進行，高考數學試題理應關注高中數學新課程的進程，汲取新課程的新思想、新理念，使高考數學更加反應數學教育改革的發展方向.因此，大綱版課本和《新課程標準》的交集成為高考試題的創新地帶，其創新之處體現在以下幾方面.

1.和而不同，文理有別

試題起點較低，由易到難，循序漸進，形成一定的梯度.基本沒有偏題、怪題，與平常的教學和高三總復習資料題相吻合.適當增加了中檔試題比重，中檔試題比重在50%左右，避免了前幾年“送分題”太多，選擇、填空題“清湯寡水”的感覺.使全卷難度分布合理，有利于穩定考生的情緒，有利于考生的正常發揮，使試卷具有明顯的層次感和良好的區分度.

文、理科試卷在試題內容、編排順序、難度要求等方面都有較為合理的差異.理科創新力度較大，文科試卷相對穩定.理科側重考查抽象概括、理性思辨能力，文科側重考查形象直觀、具體應用.最主要的是控制了文科試題的思維高度和運算難度.如文、理科第14、19題求線線角、線面角、二面角，可用向量法與傳統法，考查思維的差異性.

理科19題：如圖3，在三棱錐P－ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC.

（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成角的大?。?/p>

（Ⅱ）求二面角B－AP－C的大小.

圖3

（Ⅱ）二面角B－AP－C的大小為arctan2.

點評：文、理科19題問題相同、但文科題干略簡單.如圖4，在三棱錐P－ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，點P在平面ABC內的射影O在AB上.體現了文理差異.

圖4

文、理不同的題有5個.而以姊妹題體現差異的有11個，文科姊妹題的起點普遍較理科低，比如都考了線性規劃，理科是應用題需要讀題建模，文科就直接給出約束條件和目標函數.但文科的壓軸題接近理科壓軸題的思維難度，這有利于選拔文科數學尖子生.

文、理科試卷相同題有6個.即6個選擇題相同：理1文2、理4文5、理6文6、理7文7、理8文9、理10文10.

姊妹題有11個.即4個選擇1個填空6個解答：理5文4、理9文8、理11文11、理12文12、理15文15、文理17～22.

文理不同題有5個.即理科2、3、13、14、16及文科1、3、13、14、16.主要是文、理科選修內容不同所致.

文科試題在思維量、運算量、能力要求等方面明顯低于理科試題的要求.這樣的設計體現新教材的特點，反映四川文、理科數學各自的特點和要求.對文科學生學好數學有積極意義.

2.少算多想，思維優先

數學思維能力的考查在大部分試題中得到了充分體現.如文、理科第1～8、13、14、15、17（Ⅰ）等題，都不需要較多的運算就可得出結論.理科第5、7、10、12等題，文科第4、7、10、12等題，具有思維量大但運算量小的特點.

答案：3.

點評：本題考查的是橢圓內的焦點三角形問題，但文、理問法不一.如果能利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的性質分析出“線段AB過右焦點時三角形周長最大”，將大大簡化計算.

文、理科第20題，若能運用特值法、“借雞生蛋”法、轉化法、估算法及對數函數的單調性就能較快地解決問題，并避免煩瑣的計算.文科的16題看起來很嚇人，但如果用特殊值法，就能又快又準地得到答案.理科的16題，定義新概念“［x］”（高斯函數），考查考生對新知識、新概念的閱讀、理解、接受和運用的能力，以反映學生學習潛能的高低，區分不同水平層次的學生.該題的前兩個較易驗證，后兩個需要較強的分析能力.理科第12、16、22等題，其思維難度高、運算量大，但借助于直覺猜想、合理估算、反例構造、演繹推理等方法，運用數形結合、函數與方程等數學思想，其運算就比較簡單.這些題較好地體現了“多考點想，少考點算”的命題理念，今年全卷的運算量和書寫量比過去幾年有所降低，但思維量有所增加.這些做法能更好檢測考生的數學素養和進入高等學校繼續學習的潛能，有利于高校選拔新生.

3.青睞探究，呼應課改

《普通高中數學課程標準（實驗）》強調指出：學習數學是一種“多元”的智能活動.學生對數學概念、結論、技能的學習不應只限于接受、記憶、模仿和練習，動手實踐、自主探索、合作交流、閱讀自學等均是數學能力發展不可或缺的重要方式.

新課標教材設立的“觀察”、“思考”、“探究”、“發現”、“閱讀”、“實習作業”等新欄目，帶來了教學觀念和方式的深刻變革，成為課堂教學改革的一大亮點.順應這一理念而“閃亮登場”的高考“實驗探究”題，成為今年四川高考數學卷求新求變、耐人回味的“特色菜”.

理科11題： 方程ay=b2x2+c中的a、b、c∈{-3，-2，0，1，2，3}，且a、b、c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）.

A.60條 B.62條 C.71條 D.80條

方法1：ay=b2x2+c，若表示拋物線，則a≠0，b≠0；又可能出現重復，所以采用樹狀圖，直觀，容易識別重復的！

當a=-3，3，或-2，2時，通過畫樹狀圖排除重復的情形，各有4×4-3=13（種）情況；共有4×13=52（種）情況；

當a=1時，b=2或-2時，b2=4，這時就出現了重復的數據，也就是c=-3，0，3，所以總數為2×4-3=5.同理b=3或-3時，b2=9，也出現了重復的數據，是c=-2，0，2，總數為2×4-3=5.

這樣一共有拋物線52+10=62（條）.

圖5

以上兩種情況下有9條重復，故共有16+7=23（條）.

同理當b=-2或2時，共有23條；當b=1時，共有16條.

綜上，共有23+23+16=62（條）.

點評：此題難度很大，若采用排列組合公式計算，很容易忽視重復的18條拋物線.畫樹狀圖和列舉法是解決排列、組合、概率等問題原始卻有效的辦法，要能熟練運用.

理科12題的解答，考生需要借助于直覺思維先猜想出5個余弦值的和為0的結論，然后利用函數的單調性證明該結論的正確性.理科16題的解答，考生可根據不同的值算出數列的前幾項，發現其規律，借助于特殊情況的經驗，猜想出一般結論，進一步得到正確答案.文、理科22（Ⅱ）問是求最小值，解答此題需要先通過試算探尋結論，然后再嚴格證明.第（Ⅲ）問設計更有挑戰性，其思維程序是：試算——猜想——構造——證明——運用.命題專家巧將科學探究的過程與方法、情感態度價值觀融于其中，體現了與新課程的對接.其解答清新明快，給人愉悅的感覺，體現了數學美，突出了數學的文化價值.

四、聽“雜音”走向完善，悟“規則”達到提升

高考之后，哭聲一片.四川學生尤感數學最難、最慘.

不少一線師生對個別數學題“偏、難、新、怪”頗有微詞，發出“此卷只應天上有，只有神仙算得出”的驚嘆.客觀理性地看，今年四川高考數學卷新意頻頻、亮點閃閃.雖然尖子生要想考120～140分比較困難，但中等生考90～110分還是容易的.研究四川高考動向，筆者感覺11、12、16、21、22這幾個把關題的“大麻大辣”川味還會延續.因為高考還在，競爭就在.競爭還在，四川高考把關題“辣死人的味道”就在.因為高考命題組成員有其穩定性、傳承性.同時要甑別不同批次的學生水平，沒有題目的新穎度和思維的挑戰性是不行的.加之四川多年自主命題探索積累的經驗不會輕易丟棄，形成的風格不會短期突變.

命題組應心平氣和傾聽“雜音噪音”，在專家意志與民間訴求的智慧交鋒與思想碰撞中，讓命題工作走向更加和諧、更加完善.我們一線教師不能停留在推諉、責怪上，有責任感、有智慧的陽光心態應是：如何引導、訓練自己的學生適應這種“命題風格”，成為這種“游戲潛規則”的勝利者？那就是在搞好常規教學的同時，對“川味”高考有深刻透徹的分析與駕馭，對新課標教學、對競賽選修課、對高等數學及前沿科學的研究性學習要有“親密接觸”與前瞻性體驗，對“培優磨尖”多出高招、實招.少點怨氣牢騷，多與高考專家及教育發達的成、綿兩地同行交流，共同領會新課標理念，共同觸摸高考脈動.雖然苦、累，但成就學生夢想，促進自己的專業成長，一定會特別快樂.

“基礎”“能力”兩手硬，“清淡”“麻辣”一卷香.四川高考數學卷特色鮮明、銳意開拓.正朝著更注重素質和能力考查的方向進行試驗與研究，既源于教材，又高于教材；既以高中數學教學大綱和數學課程標準為依據，又不拘泥于大綱和課標；既突出中學基礎知識的考查，又關注與大學內容的銜接；既追求命題的創新，又不回避傳統經典問題.在對立中尋求統一，在矛盾中得到發展.

年年歲歲考相似，歲歲年年題不同.

但愿來年，四川有更精彩的數學試題，有更美麗的高考故事.

肖斌，男，44歲，國家級示范性高中——四川省巴中中學高級教師，四川省特級教師，四川省骨干教師，四川省優秀教師，中國數學會會員，巴中市中數專委會副理事長.已在省級以上正式報刊發表論文1000余篇，主（參）編高、中考書籍15部.培養省市數學單科狀元、市理科總分狀元、北大清華學子數十人.