讓過程展示思維風采——從2012年一道高考題看數學思維過程

☉安徽省太湖中學 李昭平（特級教師）

☉安徽省潛山野寨中學 汪和平

讓過程展示思維風采
——從2012年一道高考題看數學思維過程

☉安徽省太湖中學 李昭平（特級教師）

☉安徽省潛山野寨中學 汪和平

數學思維的獲得在很多情況下是在充分理解題意的情況下，運用觀察、聯想、猜想，并通過嘗試、反思、邏輯表征等，將問題的思路呈現出來，這其中包含著火熱的思維活動過程，然后再將問題以嚴密的符合邏輯的解答形式呈現出來.

在數學解題教學中，我們應盡可能地將火熱的數學思維過程揭示出來，從合情推理中尋找思路，掌握轉化方法，培養調控能力，鼓勵學生始終保持堅定的信念，引領學生經歷探究的全過程，學會數學式地思考.下面以2012年安徽省高考理科數學第21題壓軸題為例看數學思維的過程.

一、試題分析

（Ⅰ）證明：數列{xn}是單調遞減數列的充分必要條件是c＜0；

（Ⅱ）求c的取值范圍，使數列{xn}是單調遞增數列.

第一步：弄清問題，明確思考方向，少走彎路

本題以二次函數為背景，給出了數列的二次遞推關系.按照已有的認知，這類問題很難由遞推關系求出通項公式（若能求出通項公式，也往往通過對數運算將指數“放”下來，轉化為一次遞推式）.又由于題目中需要處理的兩問都是不等關系，這決定了本題的思維方向不是求出通項.

兩問都是討論數列的單調性，數列的單調性與函數的單調性概念不同.函數的單調性定義是：對于定義在區間D上的任意x1、x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則函數f（x）是單調遞增（減）函數.而數列的單調性定義是：對任意n∈N*，都有an＜an+1（或an＞an+1）成立，則數列{an}是單調遞增（減）數列.函數的單調性也可以運用導數來判定，運用導數來判定單調性需先將數列轉化為函數，并且要注意數列的離散性，兩者之間有差別.

考查函數f（x）=－x2+x+c，知其圖像與y軸交于點P（0，c），圖像關于x=對稱，頂點坐標為）對于問題（Ⅰ），若數列{x}是單調n遞減數列，則xn+1＜xn對任意n∈N*都成立，即點（xn，xn+1）在函數f（x）=－x2+x+c的圖像上，且圖像上任意一點（xn，xn+1）都在直線y=x下方.

對于問題（Ⅱ），求c的取值范圍，使數列{xn}是單調遞增數列.

圖1

第二步：擬訂計劃，用圖像顯示問題的特征

對于問題（Ⅰ）結合圖象特征知數列{xn}是單調遞減數列的充分必要條件是c＜0.注意充分必要條件需從兩個角度加以證明.

圖2

第三步：實施計劃，將直觀圖像運用邏輯推理表達出來

綜上得數列{xn}是單調遞減數列的充分必要條件是c＜0.

（Ⅱ）假設{xn}是遞增數列，由x1=0，得x2=c，x3=－c2+2c，由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.

第四步：回顧，檢查解題過程中的思維是否具有嚴密性、有無疏漏

上述求解過程實質是由“數列{xn}是單調遞增數列”，求得“c的取值范圍”，而不是題目所要求“求c的取值范圍，使數列{xn}是單調遞增數列”.但上述過程已將問題的必要條件求出來了，只需證明必要條件也是充分條件即可.若0＜c≤，要證數列{xn}為遞增數列，即xn+1－xn=－+c＞0，即證xn＜對任意n≥1成立.

二、變式拓展

加上函數曲線背景，體現交匯性，就得到：

題1 數列{xn}滿足：x1=0，且點P（xn，xn+1）在曲線y=－x2+x+c上（c是常數）.

（Ⅰ）證明：數列{xn}是單調遞減數列的充分必要條件是c＜0；

（Ⅱ）求c的取值范圍，使數列{xn}是單調遞增數列.

將二次型遞推式變為正弦函數型遞推式，體現探索性，就得到：

（Ⅰ）證明：an∈［0，1］對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈［0，1］；

此題的命制思路和考查目標，與上述的2012年第21題非常類似.

三、幾點啟示

2012年安徽省高考理科數學第21題立意新穎、交匯靈活、設計巧妙，避開了高考數列題常常關注遞推與通項、前n項和的視角，將數列與函數、不等式、簡易邏輯相融合，突出試題的探索性與開放性，充分體現了新課改理念，對考生的思維水平和數學素養都有較高的要求，同時也對考生應變能力與心理素質進行了有效測評，具有很好的選拔區分功能.據高考閱卷信息反饋，本題全省考生中只有一人得滿分，比較優秀的考生幾乎沒有上面第四步的回顧、檢驗，絕大部分考生找不到解題思路，無從下手，得分率極低.這給我們的啟示是：

（1）數學教學要注重培養和發展學生的數學思維能力，在思維的寬度、深度、厚度和廣度上下工夫，少做題型猜測.其實，高考命題的一個成功經驗是在知識的交匯點處命題.從數學發展史與數學知識體系的演繹過程可以看出，數學與不同分支之間的聯系本來就很緊密，因此不同知識點之間的融合命題也很容易.試卷的不少知識的交匯與命題考查點都有效地回避了熱點，教學中如果一味地去猜測考題的組合形式，學生在高考中一定是難以找到老面孔的，數學思維必然受阻.

（2）數學的本質是數學思維.數學思維過程是一個將未知與已知相融合的過程，既有同化又有順應.需要注意的是數學思維過程中要有明確的解題思想和方向，然后再將題目提供的新情境轉化為已有的知識體系和方法體系來處理，否則會做許多無用功.在數學解題教學中，要盡可能讓過程展示思維的風采，使學生更好地把握數學思維的方法，這對數學學習十分重要.

（3）以上我們從一道最新高考題出發，通過解題思維過程的展示和多方聯想得到三個變式拓展結論.在探究過程中，融觀察、猜想、證明于一體.高考題往往具有代表性、典型性、示范性和拓展性，備考復習中重視對高考題的研究，能有效培養學生的數學思維，收到良好的復習效果.