一道解析幾何試題的探究

☉浙江省寧波市鄞江中學 徐春波

☉浙江省寧波教研室 馮 斌

一道解析幾何試題的探究

☉浙江省寧波市鄞江中學 徐春波

☉浙江省寧波教研室 馮 斌

這節課筆者先參加了2011年寧波市教壇新秀評比活動，而后又在2012屆寧波市高三數學復習研討會上展示．兩次授課的背景不同，前一次授課是筆者于比賽前一天17：00接到通知，得知上課內容是“圍繞2010年浙江省高中數學會考第42題面向寧波市奉化高級中學高二文科班學生上一堂課”，并于第二天7：45到比賽地點集中，中途不準試講．后一次授課是到浙江省慈溪中學上課面向高三文科班學生，其間到不同的學校講了4次．兩節課面對的學生學情有很大差異，前一節課面對的是普通中學的高二文科班學生，而且時間緊準備不充分，后一節課面對的是重點中學的高三文科班學生，時間寬裕準備較充分．筆者將兩次上課的經歷和感受作了對比，就不同的學生不同的要求進行不同的設計，力求在課堂上能抓住學生的心，讓學生體會我們到底應該怎樣解題，怎樣能真正理解課堂例題的價值，體驗高效課堂的的魅力所在．

先看試題：（2010浙江省高中數學會考42題）設點P（m，n）在圓x2+y2=2上，l是過點P的圓的切線，切線l與函數y=x2+x+k（k∈R）的圖像交于A，B兩點，點O是坐標原點．

（1）若k=－2，點P恰好是線段AB的中點，求點P的坐標．

（2）是否存在實數k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

圖1

一、市展示課的實錄

教學目標：

（1）通過對2010浙江省高中數學會考第42題的探究，理解過圓上一點的切線方程的求法，理解直線與圓錐曲線（拋物線）的位置關系、弦中點問題的處理方法；理解解析幾何問題解決的通性通法．

（2）通過對會考試題的探究，體會分類討論、數形結合、函數與方程、等價轉化等數學思想在解題中的應用．

（3）培養學生在解題訓練過程中的興趣及讀題、答題、思題的習慣，培養學生克服困難，刻苦鉆研的精神品質．

教學重點：

直線和圓、直線與圓錐曲線位置關系的處理．

教學難點：

弦中點問題的等價轉化；等腰三角形與弦中點的等價轉化．

師：今天很高興能來到慈溪中學上課，這節課我們通過一道會考解析幾何試題的探究來談談怎樣解題．請一位同學來談談平時是怎樣解解析幾何試題.

生1：我一般是先看題目，然后整理一下題設條件，將這些條件串聯起來，大體上是根據題意，設定變量，列式子，求解．（肯定、表揚、贊同）

師：很好，請坐．我們來看看著名美籍匈牙利數學家喬治·波利亞對于怎樣解題的論述．

投影：

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya，1887-1985）.

《怎樣解題》———弄清問題，擬定計劃，實現計劃，回顧．

師：對于同學們來說怎樣解題，大致可概括為三個階段：

（1）讀題：分析題意、尋找目標、搭建橋梁；

（2）答題：通性通法、一題多解、等價轉化；

（3）思題：知識落實、思想方法、類比推廣、一般化．

考題欣賞：（2010浙江省高中數學會考第42題）

設點P（m，n）在圓x2+y2=2上，l是過點P的圓的切線，切線l與函數y=x2+x+k（k∈R）的圖像交于A，B兩點，點O是坐標原點．

（1）若k=－2，點P恰好是線段AB的中點，求點P的坐標.

（一）讀題階段

師：請同學分析題設主要條件．

生2：（1）點P在圓上；（2）l是過點P的圓的切線；（3）l與函數圖像有兩個交點；（4）點P是弦AB中點.

師：再請一個同學逐個解釋這些條件，如何搭建橋梁呢？

生3：第一個條件“點P在圓上”，可以得到m2+n2=2；

第二個條件“l是過點P的圓的切線”，利用點到直線的距離等于半徑解決；

第三個條件“l與函數圖像有兩個交點”，聯立方程，利用判別式大于零解決；

設計意圖：

通過學生自主讀題，尋找目標，從而搭建橋梁，為答題服務.

師：太厲害了.我們解題的時候，經常會遇到困難，當我們遇到困難的時候，通常可以把大題化小，小題化了，同時不斷鼓勵自己，我能成功，我一定能成功.下面我們來化解一下這道題目中的一個小小困難.

投影：

拋磚引玉：過圓x2+y2=2上一點P（m，n）作圓的切線，則該切線方程是______.

師：默默等待…

（學生展示解法）

師：非常完整，體現了分類討論的思想

生5：（方法2）如果設定直線的一般方程Ax+By+C=0就可避免討論，可是運算還是繁了點.

師：我看到確有同學這樣做了，很好.

師：相當精彩，數形結合，恰到好處.

生7：我們可以把這一結論推廣一下：過圓x2+y2=r2上一點P（m，n）的切線方程是mx+ny=r2，還可以推廣到一般位置的圓.

師：太美了，還有增值產品.總之我們得出結論：過圓x2+y2=2上一點P（m，n）的切線方程是mx+ny=2.這里我們就不進一步發散了，回到題目.

設計意圖：

放手讓學生去做，去表達自己的觀點，教師在一旁贊揚、欣賞、點評，和諧課堂.

（二）答題階段

師：點P是弦AB中點，而A、B是切線l與函數圖像的交點，只需怎么辦？（函數與方程思想）

生：（齊）聯立方程.

師：還有其他辦法嗎？（中點弦問題——點差法）

生：（齊）點差法.

師：請同學們先解一下第一小題.（投影學生解答過程）

師：這里給出解法1（方程思想），解法2（點差法）就不進行展開了.

（板書）

師：怎樣解上面的方程組？請同學們合作交流一下，前后四個同學為一組合作解決，隨后展示答案.

組1：（方法1）①+②得（m+n）2+（m+n）－2=0，解得m+n=－2或m+n=1.

組2：（方法2） ②式配方（m+n）2－2mn=2，m+n=－2mn代入可得：2（mn）2－mn－1=0，答案同上.

師：以上兩組同學的解法都很好，都關注到了運算求解中的整體性.剛才說了直線l與函數圖像相交兩個交點要有Δ判別式來保證.我們只需逐個代入到判別式檢驗，怎樣檢驗比較方便？

師：（提出反思）從方程的角度我們檢驗了點P的坐標，這是“數”的體現.能不能從幾何的角度，即從“形”的角度來驗證一下呢？

投影圖片：

問題：此時給出三點坐標位置，請分析圖像情況.

生8：圖中有兩個切點P的位置在拋物線張口內部符合，另一點P在張口外部不符合.

圖2

投影：

問題：當拋物線y=x2+x+k（k∈R）方程中的k發生變化時，拋物線圖像怎樣變換？能不能使三個點P都符合題設條件？只需拋物線的圖像怎樣變換？能不能只有一個？0個？

（學生參與熱情高漲）

生9：方程中k的值決定了拋物線的上下位置，如果將拋物線的位置整體往上移動，可能就只有一個或者0個，如果向下平移則可能有3個.

師：（展示動畫）

設計意圖：

圍繞三個階段中的第二階段，設計一組問題，以問題驅動解決問題，滲透思想方法.

師：相當精彩，請坐.解決了第一小題，我們來欣賞一下數學大師華羅庚先生的名言.

投影：

華羅庚：面對懸崖峭壁，一百年也看不出一條縫來，但用斧鑿，得進一寸進一寸，進一尺進一尺，不斷積累，飛躍必來，突破隨之.

設計意圖：

一系列的問題解決之后，欣賞一段數學大師華羅庚先生的名言，體現數學的文化，讓學生體會數學大師們身上的優秀數學素養.

師：在給出第二小題之前，再提兩個問題.

投影：

問題（1）連接OA，OB，當P恰為線段AB中點時，△OAB是什么三角形？怎樣判斷？

生10：是等腰三角形，可以利用AB⊥OP.

投影：

問題（2）反之，當△OAB是等腰三角形時，點P是線段AB中點嗎？

生：（齊）是的.

師：很好，有了大家的共識，接下去給出第二小題.

設計意圖：

以大化小，自然過度，逐個擊破，滲透等價轉化思想.期待學生回答出答案，自然轉入第二小題.

投影：

第二小題：（2）是否存在實數k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.

師：請同學來說一說這一小題怎樣解？

生11：“等價轉化”△OAB為等腰三角形?點P是線段AB中點；△OAB為等腰三角形恰有三個?點P恰有三個：

師：很好，請同學們操作一下.

投影：

學生作答：

師：觀察上述方程組，字母k運算有無特點？

生：（齊）解方程組中沒有參與運算.

師：依第一小題可得三組解.

（三）思題階段

師：這里略去解答不等式組的過程，直接給出答案.其實我們可以借助圖像來揭示題目的本源：0個，1個，2個，3個，4個都有可能，這是什么原因呢？請同學們結合兩元兩次方程組的解來體會一下.

生12：從圖像看可以移動拋物線的位置，也可以改變圓的位置，結合方程組的解至多有四組，因此這樣的等腰三角形的個數是可以變化的.

師：很好圖形不但可以平移變換，當然還可以伸縮變換.我們從方程的角度確實可以解釋這個幾何圖形，可見數形確實不能分家啊！（適時動畫演示，揭示本質.）

投影動畫：

師：下面我們以發散性思維思考這道題目.我們從以下四個方面來反思題目：（1）思考題目落實的知識點；（2）思考題目的解法；（3）思考問題的本源；（4）思考題目的變式.

師：首先題目落實的知識點有哪些呢？

生13：過圓上一點圓的切線，弦中點問題，等腰三角形等問題.

師：題目主要涉及哪些解法？

生13：韋達定理的應用，點差法的應用，等價轉化.

師：問題的本源可以怎樣揭示？

生13：從方程的角度和曲線的位置角度兩個方面來理解，這里等腰三角形的個數其實質是對應方程解的個數.（再次適時動畫演示，揭示本質.）

設計意圖：

動態演示，數形結合，直觀感知，加深理解，理解實質.

師：很好.其實我們解題的較高境界是觸類旁通，加強變式訓練必不可少.那么這道題

圖3

目有沒有變式呢？可以怎么變呢？

生14：將圓改為橢圓，其余條件和結論不變.

師：很好，改變其中一個曲線的形狀，顯然可以.

投影：

生15：將拋物線的對稱軸移動一下，其余條件不變.

師：很好，改變拋物線的位置而圓不動，顯然可以.同學的想象力是值得稱贊的.

投影：

師：老師思維也來發散一下.能不能將圓的切線改為圓的割線，分別交拋物線于A、B，且線段AB恰好被圓三等分？

投影：

是否存在直線l交拋物線與A、B，線段AB恰好被圓三等分，若存在，求出該直線方程；若不存在，說明理由.

師：這個問題就留給同學們課后研究了，下面我們小結一下這節課.

投影：

（1）這堂課體現了哪些數學思想？

（2）我們學到了哪些數學方法？

（3）培養了我們怎樣的學習精神？

生16：體現了數形結合、分類討論、等價轉化、方程思想等；學到了解方程中整體處理、觀察、猜想、類比等方法；培養了我們克服困難迎難而上、鉆研精神等優秀的學習品質.

師：（作業）請同學們課后繼續深入探究這道題目.

圖4

圖5

二、課堂環節處理上的對比

對比1：引入環節上的不同

比賽課時引用數學家喬治·波利亞的名言是想引導學生對于解題一般過程的回顧，比較單薄.

展示課中增加了教師對讀題、答題、思題的三個環節說明，一條主線貫穿整節課，就是讓學生知道這節課的主題是“我們應該怎樣解一道題”，一節課下來讓高三學生對自己平時的解題習慣來一次反思，引起共鳴.

對比2：“圓上一點的切線方程的求解”課堂教學手法上的不同

比賽課時為了考慮降低學生對此題的入口難度設計了過圓上一點求切線方程，從而為解答此題服務.其實普通中學的高二學生對于“過圓x2+y2=2上一點P（m，n），求圓的切線方程”短時間內獨立完成是比較困難的，筆者通過追問學生①怎樣設定直線方程？②設定方程時要注意什么細節問題？③相切的幾何關系怎樣處理？④直線方程的形式可以怎樣化簡？可以說是問答式的老模式教學.

比賽課時顧及學生的運算能力有欠缺，擔心學生對兩元兩次方程組的解法不熟悉，沒敢大膽地放手讓學生去處理，而是教師較為粗略的說明方程組的結構特點進而給出答案，實際情況是學生沒能真正參與運算，因而課堂漏洞較多.

展示課中吸取了前面講課過程中學生解方程組不熟練的經驗教訓，設計讓學生分組合作討論解法并以小組形式給出解答方案，使學生體會合作學習的樂趣，從而化簡課堂教學的中的一個難點.

對比4：“檢驗點P坐標是否符合題意”的不同

展示課中，在之前基礎上設計追問環節，當拋物線y=x2+x+k（k∈R）的k發生變化時，圖像怎樣變換？能不能使三個點P都符合題設條件？只需拋物線的圖像怎樣變換？能不能只有一個？0個？隨后以課件來展示動畫，動靜結合，加深學生對命題人出題意圖的理解.

對比5：“第一小題與第二小題過度”上的不同

比賽課時為了速戰速決直接給出第二小題，學生在等價處理上顯然是有一定難度的，很多同學對于“△OAB為等腰三角形”與“點P是線段AB中點”無法正確的溝通，因而斷電、冷場，這時需要教師介入，覺得比較被動.

展示課中針對這一難點在處理手法上設計兩個小問題，問題（1）連接OA，OB，當P恰為線段AB中點時，△OAB是什么三角形？怎樣判斷？問題（2）反之，當△OAB是等腰三角形時，點P是線段AB中點嗎？其實是第二小題的一種等價轉化，學生很容易接受，至于第二小題的解答也就沒有太大困難了.

對比6：“思題環節上”的不同

比賽課時主要是反思題源，結合動畫演示，帶領學生探求題目的本源，深刻體會考題的價值，可以說是形式上的展示，學生只是欣賞并沒有參與其中.

展示課中思題的變式環節完全有學生掌控，一個學生提出

教法變圓為橢圓，另一學生提出拋物線的位置可左右平移，再到教師提出變圓的切線為割線，是否存在線段AB恰好被圓三等分的情況．讓學生帶著疑問離開教室，其實正是高效學習所要追求的．

筆者通過先后兩次針對不同的對象的嘗試，深刻體會到課堂上怎樣讓學生感到“過癮”，什么是學生真正想要的，針對不同的學情的學生思考問題的角度和方法的差異我該如何設計、如何處理，等等這些疑問的的確確需要時間來學習和反思．

三、點評

聽了徐老師同一節課兩次，總體感覺是出奇出彩，高效精品．前一次課面向的是廣大的農村普通學校的學生，他們的數學基礎一般，要解決這么一道省會考試確實很是吃力，更何況這次教壇新秀評比的要求比較高，就是要體現選手的處理教學內容的真實能力．后一次課面向的是省重點高中的學生，徐老師作出了很大的改變，條理清晰過程流暢、嚴謹，預設充分因而能鎮定處理課堂上學生的突發奇想．

這種復習課的模式是值得借鑒和提倡的，可謂低能耗高效率．課堂時間是等長的，學生的研討思維活動是很緊張的，投入的智慧是巨大的，但由于教者科學性與藝術性相結合的教學方式，學生感覺到的卻是一種輕松活潑，一種充滿成就的愉悅，一種在不知不覺間的發展提升．與所謂“大運動量的題海訓練、疲憊與厭惡并存”的教學方式相比，這不就是一種“低能耗”嗎？教者經過充分準備，在課堂上通過學生放開手腳的鋪陳演繹，上演了一出精彩紛呈的“大戲”．學生由衷地贊嘆“收獲太大了”，且有“不識廬山真面目，只緣身在此山中”之感嘆，這是對高回報極有力的證明．筆者在仔細閱讀“品嘗”了這節課的教學過程后，不禁為此次成功的探索嘗試大聲叫好．高中數學教學、高三數學復習太需要如此的教學方式了！縱觀此節課，有限的教學資源得到了充分的開發和利用．回頭看看，在讀題、答題、思題整個過程中，涉及了哪些知識、技能、思想方法、思維的深刻性、敏捷性、創造性等重要內容都在自然流暢的教學情境中得到有機的融合．可謂高效精品．