圓錐曲線切線的幾個有趣性質

☉江蘇省沭陽高級中學 范如青

圓錐曲線切線的幾個有趣性質

☉江蘇省沭陽高級中學 范如青

文［1］探討了雙曲線切線的幾個有趣性質，受此啟發，本文探討了橢圓和拋物線等圓錐曲線，得到類似的性質.

性質1：設F為圓錐曲線（離心率為e）的一個焦點，其相應的準線為l.一直線交圓錐曲線于點M、N，交l于點P，則FP平分∠MFN的外角.

圖1

由三角形外角平分線定理的逆定理知FP平分∠MFN的外角.

性質2：設F為圓錐曲線的一個焦點，其相應準線為l，過圓錐曲線上一點M的切線交準線l于P，則PF⊥MF.

證明：如圖2，延長MF交圓錐曲線于M1.在性質1中，當N與M重合時，直線PNM成為與圓錐曲線相切于點M的切線PM，∠NFM1成為平角∠MFM1.由性質1知FP平分∠NFM1，即FP平分∠MFM1，故PF⊥MF.

性質3：設F1，F2是橢圓（離心率為e）的兩個焦點，點M是橢圓上異于長軸兩端點的任一點，則在橢圓上的點M處的切線和法線分別平分∠F1MF2及它的外角.

圖2

圖3

性質4： 設F1，F2是橢圓的兩個焦點，A1，A2是長軸兩端點，過橢圓上異于A1，A2的任一點M作橢圓的切線，過F1，F2作切線的垂線，垂足分別是B、C，則B、C在以A1A2為直徑的圓上.

證明：如圖4，設橢圓的中心為O，直線F1M與直線F2C相交于D，連接OC、OB.由性質3知MC平分∠F2MF1的外角∠F2MD.

圖4

所以點C在以A1A2為直徑的圓上，同理點B也在以A1A2為直徑的圓上.

性質5：P為橢圓外一點，PA、PB是橢圓的兩切線，A、B為切點，F1、F2為橢圓的兩焦點，則PF1、PF2分別平分∠AF1B、∠AF2B.

證明： 如圖5，過F1、F2分別作PA、PB的垂線，交直線F2A、F1B的延長線于點F1、F2，交直線PA、PB延長線于C、D，連接PF1，PF2，PF1，PF2.

圖5

1.楊昌龍，熊先漢.雙曲線切線的幾個有趣性質［J］.中學數學月刊，2005（10）.