第一輪復習也要豐富多彩的數學

☉安徽省亳州市第一中學 史 嘉

第一輪復習也要豐富多彩的數學

☉安徽省亳州市第一中學 史 嘉

*本文系課題《課堂教學中數學文化欣賞點設計的研究》之子課題《高中數學概念教學中的人文情境設計》的研究成果.

2012年是安徽省第七次自主命題，也是第四次新課標高考.可用四個字評價理科數學卷：樸實平穩.“樸實”即無偏題、怪題，考查基礎知識，不為了新而新；“平穩”即試卷結構、分值穩定，試題的難易度排序相對平穩，沒有大起大落.正是這份都反映“不難”的試卷，要想得高分也絕非易事，“數學高分段（即140分以上）所占的比例比去年有所減少，但整體得分略有上揚”.為什么試卷合口味了，反而高分段的考生少了呢？為此，筆者訪談了高三考生、高二學生（自己兩個班的優秀生）和高三一位特級教師.

一、陳述三類觀點

梳理訪談結果，總結有代表性的觀點如下.

高三考生觀點：做那么多題白做了，還是沒復習到.思想方法總結不少，但做三角形、不等式、數列那幾道題還是不順利，總感覺沒達到高考的要求.

高二學生觀點：高考題不是想象的那么難，只要給充足的時間，應該都能做對.只要多做題，提高速度和準確性，肯定能考好.

特級教師觀點：兩次全市聯考文理科前三名都是咱的，為啥高考時前三名都沒了？咱的復習就是原地踏步（低效），甚至退步（無效）.

二、復習課現狀及分析

常規模式是教師提問，學生回答，教師再補充，或是教師羅列概念、公式、定理，給出實用的小結論，然后是做題、做題、再做題.這種展示性復習，看似節省時間，提高了課堂效率，但學生思維參與少了，也失去對概念再次理解和賞析的機會，使得一輪復習目標“夯實基礎，建立聯系，梳理通法”成了“豆腐渣”，更不用說二輪的“強化基礎，學會思考，提升能力”.復習課演變成概念連續展示和試題離散堆積的過程，學習數學幾乎異化為解題.此現象應理解為教師和學生對應試教育的適應，是“實用主義”使然，觀點中“還沒復習到”和“只要多做題”正是其大行其道的市場所在.

復習課該怎么上呢？章建躍老師說：“概念教學，無論怎么強調也不過分.”據此筆者認為，概念復習課應像新課一樣豐富多彩：創設各種情境，引導學生積極參與數學活動，自主構建概念和知識系統，同時查缺補漏，從而促使學生自我反思，達成強化知識、深化理解概念的目的.下面以剛復習過的函數內容為例，談談一些思考和具體做法，供大家參考.

三、五點思考及做法

1．明確教學目標，提高復習效率

隨著課改深入推進，課堂教學三維目標已深入人心，但在復習課上很少關注三維教學目標.教師選擇例題的依據是題目具有代表性、綜合性、解法多樣、新穎的真題等，卻很少考慮這節課教學目標是什么，到底想要解決什么問題，更談不上“情感、態度與價值觀”.事實上，三維目標是一個有機整體，就像正方體的長、寬、高三個維度一樣不可分割.“知識與技能”是在“過程與方法”中獲得的，而只有學生親身經歷“過程與方法”，才能實現“情感、態度與價值觀”目標，進而反過來促使對“知識與技能”的深刻理解和掌握.

案例1：“二次函數的圖像與性質”教學

這節課有兩個重點：一是圖像與性質及其生成過程，二是運用性質解決最值等問題.為評價和檢測教學目標的完成情況并進一步達成三維目標，筆者設計了一組例題，留給學生充足的時間先練習再交流，一組題足夠完成教學任務.

例題：已知函數f（x）=x2+2ax－1，x∈［－3，3］.

（1）當a=－1時，求函數f（x）在［－3，3］上的最大值和最小值；

（2）用a表示函數f（x）在［－3，3］上的最大值和最小值；

（3）當a=1時，求函數f（x）在［t，t+1］上的最小值g（t）；

（4）在（3）中，求函數g（t）的最小值；

緊緊圍繞教學目標選編題目，目的就是解決求最值問題，且在相同背景下解答各種問題，節省重新熟悉試題背景的時間，進而提高教學效率.正如G.波利亞所說：“一個專心認真備課的老師能拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門，把學生引入一個完整的理論領域.”在學生自主解答和合作交流中，掌握解決一類問題的通性通法，感受數形結合思想的直觀與便捷，體會分類討論思想的全面與縝密，培養了嚴謹細致的治學態度和鍥而不舍的鉆研精神.

2.創設多元情境，歸納生成概念

許多教師認為，概念復習課就是和學生一起舊事重提，簡單回放已知的東西，甚至淡化對概念的理解，直接以習題訓練代之.我們知道，數學概念是數學的核心，它揭示了事物的本質屬性和相互間的內在聯系.因此，有必要創設多元教學情境，給學生再次深入理解和發現數學本質的機會，溫故而知新.

案例2：“函數的概念”教學

函數是高中教材中最核心的概念，學生普遍反映函數既具體又抽象且難以理解.為此，筆者基于多元表征理論和函數的演變歷史，創設一組具體的、生活化的、富有典型意義的問題情境，引導學生用數學的眼光觀察、辨別、發現其共同屬性，并用數學語言表征抽象出的本質屬性.

情境：（1）自由落體運動.

（2）亳州市某天的氣溫變化圖（該文略）.

問：早晨7點時溫度是多少？哪一時刻的溫度為0°C？每一時刻的氣溫都能確定嗎？

（3）我國從1949年到2010年的人口數據表（該文略）.

問：1990年我國總人口是多少？每一個年份都有一個人口數與之對應嗎？都唯一嗎？

（4）某輛出租車.

問：出租車每一時刻是否都有速度？這個速度唯一嗎？在此背景下，你還能找到哪些類似的變量關系？

早期的函數是指可以用解析式表示的函數，后來擴充到用連續曲線表示的函數，最終形成現在的概念.為此，筆者遵循其發展史，利用函數概念的多種表現形式（情境（1）是解析式法，（2）是圖像法，（3）是列表法，（4）只能觀察速度表），創設一組多樣的教學情境，向學生提供文字、符號、圖像、表格等各種刺激信息，引導學生把生活情境數學化，揭示數與數的對應屬性：“對……每一個……都有唯一的……對應”，逐步抽象為符號y=f（x）.最好再結合閱讀材料——狄利克雷函數——讓學生對函數概念的內涵和外延有更深刻認識：沒有公式，從解析式子中解放出來；沒有圖形，從幾何直觀中解放出來；不連續，歷史上第一個間斷函數，開了研究不連續函數的先河；沒有實際背景，從客觀世界的束縛中解放出來.2012年福建理科第7題考查的就是D（x）函數.

3.營造文化情境，理解品味概念

《數學課程標準》提出對“數學文化”的學習要求：應盡可能有機地融入高中數學課堂教學中，讓學生體會數學的人文價值，從而提高文化素養.筆者認為，數學文化≠數學史，數學文化≈數學+人文情境.著名作家王蒙說：“最高的數學和最高的詩一樣，都充滿了想象，充滿了智慧……”因此，復習課可有意溝通數學與人文兩者的意境，甚至是調侃數學，以豐富多彩培養學生對數學的情感.

案例3：“函數的周期性”教學

師：我先請一位同學背誦一首小學的詩，白居易的——《草》.

生A：離離原上草，（很快一起背誦）一歲一枯榮.野火燒不盡，春風吹又生.

師：用數學的眼光欣賞她，你能體會到描寫的規律是數學中的——

眾生：周期性！

師：是的，“一歲一枯榮”和“春風吹又生”是生命的律動，秋枯春榮，歲歲循環，生生不息，這與函數的周期性數學意境是多么吻合.你還能舉出周期性的例子嗎？

眾生：花開花落，月缺月圓，晝夜更替，燕子春來秋往，一年四季，7天一周，紅綠燈，元素周期表，單擺……

師：身邊的例子舉不勝舉呀！有沒有發現，生活中凡是與時間有關的基本都具有——周期性.所以，英文中周期是Period，而在數學中周期用“T”表示，這個“T”大概就是……

眾生：Time！

案例4：“函數的單調性”教學

師：唐朝劉禹錫曾寫過一首詩《秋詞》：自古逢秋悲寂寥，我言秋日勝春朝.晴空一鶴排云上，便引詩情到碧霄.其中“晴空一鶴排云上”勾勒一幅秋高氣爽一鶴凌云的開闊景象，表露詩人積極向上的樂觀態度.如果從數學的角度看，詩人為我們描述了——對，單調遞增函數的意境.

師：如圖1，從左向右看，函數圖像“一鶴排云”步步高升，這就是增函數.不過，這僅僅是我們的直觀感受，距離數學還差得遠.用數學語言如何刻畫增函數呢？

生1：y隨x的增大而增大，減小而減小.

師：你已經達到第二境界了：定性分析.但數學是嚴謹的，如何用精準的數學符號語言刻畫增函數？

定義（第三境界）：已知?x1，x2∈（a，b），若x1＜x2，有f（x1）＜f（x2），則稱函數f（x）是定義在（a，b）上的增函數.

圖1

圖2

師：需要強調的是任意性，能不能去掉“?”呢？

生2：不能，否則這（畫出圖2）也符合增函數的定義，很顯然它不是增函數.

師：是的，否定一個命題，只需舉出一個反例即可.任意性確保了函數圖像上任何兩個點都是右邊的比左邊的高，才能“步步高”.

我們在簡易邏輯里學過符號“?”，有意思的是，“?”取自“任意”英文單詞“Any”或“Arbitrary”的第一個字母A，怕和字母A搞混了，于是就上下翻轉過來；還有一個“存在”符號“?”，取自“存在”英文單詞“Exist”的第一個字母E，怕和字母E搞混了，也翻轉一下，但上下對稱的E不同于左右對稱的A，所以只有左右翻轉為“?”.

為深入理解概念，開闊思路，趁學生興趣盎然時拋出：這是教材中的定義，你能找到等價的定義形式嗎？并類比定義減函數.

討論得到增函數的符號定義等價形式如下：

4．預設探究活動，關注能力立意

新課標高考命題強調“以能力立意”，但數學能力僅靠機械地做題是難以達到的，這也正是一、二輪復習過后，數學能力不能進一步拔高（突破140分）的癥結所在.蘇霍姆林斯基曾說：“在人們的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強烈.”因此，研究性學習也應始終貫穿在復習課中，把“五大能力和兩種意識”的培育和鍛煉落到實處.

案例5：“對鉤函數”教學

（2）具有單調性嗎？單調區間是什么？你是如何得到的？（用定義或導函數推導）

（6）對鉤函數會是雙曲線嗎？如何探討？（推導旋轉公式，2012年安徽高考理科第8題正是考查向量的旋轉）

（7）觀察幾何畫板動態演示，總結a和b對函數圖像的影響.（讓圖像動起來，直觀化感知和理解參數a、b的意義）

（8）請自主研究當a＞0，b＜0時的圖像和形狀，當a＜0，b＞0和a＜0，b＜0時的呢？（類比推理，圖像的變換）

（9）請梳理本節課你探究的成果，并總結探究方法.（掌握數學的精髓）

（10）例題.（略，學以致用）

5．設置微型探究，拓展概念內涵

高三一輪復習最適宜上探究課，因為學生已經具備一定的基礎知識和探究能力，但在教學中存在兩種極端現象：一是根本不探究.復習課嘛，都知道了，沒必要“裝腔作勢”，點到為止，直接上題；二是為探究而探究.不分知識特點，習題難易，放羊式探究，課堂熱鬧，效益一般.鑒于此，筆者認為可以結合知識或習題的特點，設置微型探究進行拓展和延伸，提示探究能力和思維水平.

案例6：“函數的奇偶性”教學

結合具體函數（圖像）復習函數的奇偶性：偶函數圖像關于y軸對稱，即f（x）=f（－x）；奇函數圖像關于原點對稱，即f（x）=－f（－x）.之后設置如下微型探究.

探究：定義在R上的函數f（x）.

（1）若f（x+1）為偶函數，則f（x）圖像的對稱性如何？有什么恒等式？f（x+a）是偶函數呢？

（2）若f（x－2）為奇函數，則f（x）圖像的對稱性如何？有什么恒等式？f（x+a）是奇函數呢？

（3）若f（x+a）=f（b－x）恒成立，則f（x）有什么性質？當a=b=0時呢？

（4）若f（x+a）=－f（b－x）恒成立，則f（x）有什么性質？當a=b=0時呢？

（5）根據探究⑶、⑷的結論，你發現函數“奇偶性”與“對稱性”之間的關聯了嗎？

通過以上探究，學生能夠深刻認識到“偶函數是軸對稱的特例，奇函數是中心對稱的特例”，并能熟練處理恒等式問題.微型探究處理靈活，容易操作，高效實用，應該成為課題教學中的常態環節.

數學結論很重要，會用更重要，過程最重要，因為數學的精髓（方法、思想和精神，或者稱為能力，正是是獲得高分的關鍵素養）都蘊涵在概念的生成、公式的推導、結論的提煉和習題的分析等過程及其背景之中，這些忘也忘不掉并影響一生的東西僅靠生硬灌輸和機械訓練是不行的，必須讓學生親身經歷、體會、感悟，進而內化，但這個過程必須是實實在在的、豐富多彩的，新課如此，復習課更應如此.