反思問題的分析與解題思路的形成

☉江蘇省泗洪中學(xué) 彭曉珊

反思問題的分析與解題思路的形成

☉江蘇省泗洪中學(xué) 彭曉珊

編者語：該文通過問題解決過程的反思這一方式讓學(xué)生學(xué)會在解題中在分析問題的特征中尋找問題解決的途徑，這對解題教學(xué)有借鑒意義.但要在反思的基礎(chǔ)上能形成新的解法或發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律.

從近年的高考數(shù)學(xué)試題來看，對能力的要求逐年提高，“題海戰(zhàn)術(shù)”的功效明顯下降，在教學(xué)中如何擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力呢？這就要求在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題和解決問題，并從中發(fā)現(xiàn)問題解決的規(guī)律.本人試從一道試題的標(biāo)準(zhǔn)答案的分析來談?wù)勅绾瓮ㄟ^解題分析來獲得問題解決的新視角，并從中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

一、問題的提出

評析：這個解法運算正確，書寫規(guī)范，過程完整，推理嚴密，還有沒有更好的解決辦法，還有反思的余地嗎？下面我們不妨先研究一下解題步驟，是怎么解的，為什么這樣解？

二、解題分析

1.題中主要抓住了三個主要問題依次來解決的

（1）求出u的值域.

（2）從f（u）=0的根u的范圍來得到a、b所滿足的條件.

（3）求出a2+b2的最小值.

2.解題步驟結(jié)構(gòu)圖

我們把整個問題的解決步驟簡練地提煉出來，由這樣一個解題步驟結(jié)構(gòu)圖：

在這個解題步驟結(jié)構(gòu)圖中，我們可以清楚地知道在解這道題的過程中依次用到的知識為下面的框架圖.

3.邏輯結(jié)構(gòu)的初步分析

（1）在此解法中，利用f（u）=u2+au+（b－2）=0的根得到絕對值不等式，然后化為求解根式不等式是這道題目得以解決的關(guān)鍵.也是這道題的難點所在，一般而言作為學(xué)生是很難想到的.

（2）在這個答案中第二問的解決是起到橋梁的作用，是第一問和第三問的聯(lián)系紐帶.

（3）這道題目的標(biāo)準(zhǔn)答案是從正面入手，一環(huán)緊扣一環(huán).

由以上初步分析知，對于上述的解決問題是循著先求u，然后求出a、b滿足的不等式，最后求出a2+b2的最小值.這種思路是從正面入手，一環(huán)扣一環(huán)地得出最終結(jié)果.

三、題后反思

由以上初步分析知，對于上述的解決問題是循著先求u，然后求出a、b滿足的不等式，最后求出a2+b2的最小值.這種思路是從正面入手，一環(huán)扣一環(huán)的得出最終結(jié)果.我們能否從其他角度入手，如反面考慮，換位思考.我們對每一步提出這樣的想法：如果這一步不這樣，那會是怎樣？先進行如下反思.

1.反思問題的結(jié)構(gòu)特征：

從上面的結(jié)構(gòu)分析中可以看到，原解法中有三個未知數(shù)a、b、u，在原解法中突出了u的地位，強調(diào)了u的優(yōu)先使用權(quán)，a、b退居二線，所以我就他們的地位不同得到下面的結(jié)構(gòu)特征.

第一問的情況較簡單，我們分析的重點放在第二問和第三問，在第二問的解決中始終圍繞f（u）=u2+au+（b－2）=0至少有一實根，它的結(jié)構(gòu)特征的探討如下：

特征1：u2+au+（b－2）=0看成關(guān)于u的一元二次方程，在這里突出u的地位.

特征2：f（u）=u2+au+（b－2）看成二次函數(shù)y=f（u）與u軸的交點的個數(shù)至少有一個，這里還是突出u的地位.

特征3：u2+au+（b－2）=0看成一個恒等式問題，a、b、u，地位是相同的.

特征4：u2+au+（b－2）=0看成關(guān)于a、b的直線方程，把u看成常數(shù)，a、b地位突出.

與此同時，第三問a2+b2的最小值的解決辦法將決定整個解題的方向，下面a2+b2的最小值就本題而言選取的策略如下：

a2+b2的最小值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決；

利用基本不等式來求解a2+b2的最小值；

利用a2+b2的幾何意義來解決a2+b2的最小值.

在這里多種特征方式的出現(xiàn)，體現(xiàn)了知識間結(jié)構(gòu)的清晰度和連通性，同時也開辟了解題途徑的多樣性，為我們下面的新解法做好基礎(chǔ)性的鋪墊.

2.反思資源利用

資源的利用是涉及到解題過程中的全過程和每一步，我們重點分析一下比較實質(zhì)性的第二問的解決.

在第二問的解答的主要是找出根與系數(shù)的關(guān)系，這使得我們思考，除了這個關(guān)系外，還有其他的關(guān)系么，（特征2、3、4）其中哪一個關(guān)系對我們處理更加容易入手，我們有哪些資源可用，應(yīng)該做怎樣的安排？