元認知理論視角下對數學解題教學的新思考

☉北京師范大學（珠海）附中 黃 曉

☉北京師范大學研究生院珠海分院 高文華

元認知理論視角下對數學解題教學的新思考

☉北京師范大學（珠海）附中 黃 曉

☉北京師范大學研究生院珠海分院 高文華

一、現實解題教學中的誤區

在現實教學中，有些學生聽懂了老師的講解但是不會做題，更確切地說在我們的教學過程中常見這樣的一些學生，他們能聽懂老師上課所講的內容，能看懂課本上的例題，可是自己獨立解題時常感不知從何下手；另外，我們也會遇到這樣一部分學生，只要老師稍作提示，他們能很快找到解題思路，但離開老師的指導就不懂如何思考.我們不得不去思考這樣的一個問題，那就是出現這樣的情況是學生的問題還是我們老師自身的解題教學缺少一些環節？當前，我們的解題教學比較注重“怎么解”而對“為什么這樣解”重視不夠.具體來說，就是我們的解題教學比較注重向學生展現最后的解答，而對于“解答是怎么想出來的，中間會遇到哪些挫折又是如何克服的”重視不夠.正如沈文選先生說：我們現實的解題教學片面追求解題技巧和個別知識點在解題上的應用，這種教學模式可以培養學生形式運算能力，但是不利于培養學生獨立思考的能力.［1］實際上，我們當前的解題教學大都是這樣一種模式：復習知識—典型例題講解—總結方法—變式練習.在這種模式下，不少老師在備課時花大量時間找資料、選習題、歸類，然后把每類題對應的方法詳細講給學生聽并要求學生“對號入座”地解題；另外就是，教師為引導而引導，有的老師精心設計了很多問題，層層深入地引導學生一步一步地按照老師設計好的思路來解題.這些做法有利于增加學生的知識儲備但不利于學生獨立思考能力的形成，所以會有部分學生能聽懂但不能獨立解題.從元認知的角度看，這種解題模式不能幫助學生認清自身認知結構的優點和缺點，學生不清楚自己具備哪些知識還缺哪些知識；另外，也不能幫助學生認識解題的監控過程，不利于學生解題監控能力的培養.筆者在平時的解題教學中也存在這樣的缺陷.下面，舉一個實際中碰到的例子.在一份周末練習題中有這樣一道題：已知Sn是等比數列{an}的前n和，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2，a8，a5成等差數列.

這道題的解答過程為：

證明：因為S3，S9，S6成等差數列，所以S3+S6=2S9.（1）

師：對上式用前n項和公式變形，而公式有兩個，用哪個呢？

生：兩個都可能，要對q分類討論.

師：先看q=1的情況，同學們驗證一下q能否為1呢？

生：不可能，q=1會得到a1=0.

師：若q≠1，我們可得……（學生說，教師板書）

生：可以兩邊同時除以q得a1q2+a1q5=2a1q8，也就是a2+a5=a8.

這樣的講解，過程很順利，學生也覺得自己聽懂了.但是，一個星期后再做這道題時只有少數人全對.有部分學生忘了分類，有部分學生在得到a1q3+a1q6=2a1q9后繼續約簡為1+q3=2q6，試圖求出q.出現這種情況，說明學生忘了.那學生為什么會遺忘這么快呢？我的教學是否缺了什么？實際上，我講這題的時候有些“隱語”沒告訴學生.比如為什么要對q分類？為什么沒把a1約掉？為什么不求出q？當求q有困難怎么辦？像這些問題都沒交代清楚.用元認知的理論來說，就是沒把隱藏的對解題思路的監控過程告訴學生.

這個例子說明“師引”和“自引”（學生對解題過程的自我監控）是有區別的.我們的教學的目標不僅是學生在教師指引下做對一個題目，而且要教會學生如何對自己的解題過程進行引導監控，而我們現實的解題教學恰恰忽略了這一點.

二、數學元認知對解題的影響分析

湯服成等研究者通過研究表明：元認知是影響數學問題解決的重要因素，具有修正數學解題目標、激活和重組數學解題策略、強化解題者在數學解題中的主體地位等作用.［2］波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本，良好的組織使得所提供的知識易于用上，這可能比知識廣泛更為重要.”［3］波利亞強調了解題認知結構對解題的重要性.而“數學的解題認知結構由解題知識結構、思維結構和解題元認知結構組成.”［4］也就是說，數學元認知對解題起到重要的作用.鄭雅允指出：元認知在數學解題過程中就像一雙無形的手指點著學生每一步應該如何進行，是正確解決問題的向導，在整個解題過程中起著潛移默化的引導作用，影響著思維，元認知的監控決定著解題的過程，而解題中的每一步都提醒和反映著元認知監控.［5］筆者認為，解題者要順利解決一個數學問題，必須在解題過程中隨時對自己的思維過程加以監控、評價和調整，數學的解題過程始終有數學元認知的參與，因此數學元認知，對解題的順利進行具有重要的影響.

既然這樣，那么數學元認知是怎樣影響解題的過程呢？學者涂榮豹把數學元認知分為數學元認知知識、數學元認知體驗和數學元認知監控三大部分，［4］下面我們從這三方面分析數學元認知對解題的影響.

從系統的觀點，我門可以把解題過程看成是一個封閉的動態系統，在這系統中包括三大要素：主體的內部環境，處于系統外層；數學問題，處于系統內層；解題策略，處于中間層.解題過程的順利進行，有賴于這三大要素的相互作用，而相互作用的發生，需要解題者對這三大要素有一個認識和評價.數學元認知知識就是通過認清這三大要素對解題產生影響.具體來說，主體通過認清自身數學認知結構的優點和不足影響解題者的解題決策；其次解題者通過認清問題的特征（問題的類型是什么、問題的組織性如何、自己對問題的表征方式是什么）影響解題者對問題本質把握、相關知識的提取、策略的選擇和運算操作等；最后解題者通過認清自身具備的策略、策略適用的問題情境來影響解題者對策略的正確選擇和有效利用，從而減少嘗試和錯誤的任意性.可見，數學元認知知識起到認識解題系統的作用.

數學元認知體驗對解題的影響主要表現在三方面：對解題目標的修正，對數學認知結構的改組，對解題策略的激活.首先，解題者在解題過程中，如果發現原來所定的目標無法達到或是不容易達到時，就會通過元認知體驗調整、修正原來的目標，使之容易達成.其次，解題者在解題中遇到困難時會根據元認知體驗反思自己數學認知結構的不足，進而補充相應的知識，改組自己的數學認知結構，這樣有利于解題的繼續進行.最后，在解題過程中，解題者對當前使用的解題策略的有效性會有所懷疑，從而促使解題者不斷思考新的解題策略，于是新的策略就被激活.

數學元認知監控相對其他二者，其對解題的影響力更大，是三者的核心.數學元認知監控對解題的影響主要體現：對解題方向的監控，對解題過程的監控，對認知策略的調節.首先，解題過程中，解題者通過數學元認知監控保證思維方向盡可能的向著解題目標，不發生偏離.其次，解題者通過元認知監控及時糾正解題中的錯誤、審視當前狀態與解題目標的差距保證解題的順利進行.最后，解題者通過數學元認知監控，不斷修正思維方法和認知策略，以保證解題的方向性.

三、解題教學中培養數學元認知的策略

既然數學元認知對學生解題能力的提高有重要的影響，那么我們的解題教學理應關注學生數學元認知的培養，具體如何落實呢？

（一）引導學生建構目標體系

在平時的解題教學中應強化學生的目標意識，通過老師平時解題教學的潛移默化的示范作用，幫助學生學會自主確定解題目標，提高解題的主動性.在平時的教學中主要注意以下幾點.第一、教師應注意引導學生如何確定問題總目標，在總目標指導下如何建構“小步距”、“層次性”的目標體系.比如面對一個數學問題時，教師以第一人稱的方式介紹自己是如何確定該問題的目標的，然后又是如何把目標分成不同階段的，不同階段的目標又如何確定等等.通過教師自我的表露讓學生體驗確定目標的過程，從而使學生在離開老師的引導時，自己能獨立的根據問題的特征，確定解題的目標體系.第二、教師在解題教學中要有意識的表露自己如何根據不同的目標選擇不同的策略.比如可以向學生表露，這一步我的目標是什么，我為什么選擇種方法.通過這種方式幫助學生領會對于不同的目標要選擇不同的策略.第三、教師應展示解題工程中自己是如何評價不同階段的目標體系的.比如教師可以向學生提問：我的目標是什么？該目標完成了嗎？完成這目標問題解決有幫助嗎？通過這些引導性的提問讓學生主動監控自己的目標體系，通過平時教學的滲透，幫助學生慢慢建立起主動監控解題目標的能力.

（二）暴露解題的思維過程

在解題教學的備課中，我們經常關注的是如何選擇典型例題、歸納方法，而對于如何向學生暴露老師思考這道題的思維過程缺少考慮和設計.而解題教學的重要內容和意義就是揭示解題過程中的數學思維.［6］因此筆者認為，教師在進行解題教學備課時應考慮如何向學生暴露自己解題的思考過程或者解題中經歷的挫折失誤.在教學實踐中筆者建議利用波利亞式的“提示語”揭示思考過程.

人教版高中數學必修2習題3.3B組題中有這么一題目：

筆者在備課時設計了如下的“提示語”：條件能化簡嗎？結論含有根號，能否兩邊平方呢？（學生回答后，道出教師的想法：其實老師做這道題的時候也有考慮過平方，但是馬上又想到這么做很麻煩）式子右邊各項形式上有什么特點？見過類似的式子嗎？這題究竟想考查什么？（學生思考后，向學生說明我自己想這題的時候心理就反復問這題究竟想考查什么）能畫圖把點描上去嗎？能換種方式表述這個問題嗎？（學生思考后，告訴學生：老師在想到考查兩點間的距離公式后，就動手畫出直角坐標系并把點描上，最后把問題轉化為用幾何方式表達）通過以上的“提示語”和說明把教師本人的思考過程以及在遇到困難時如何調整方向，不單展示了思考過程而且展示對思考的監控過程.因此，這種思維的暴露能在不覺中培養學生數學元認知能力.

（三）解題教學要關注題后反思

羅增儒先生在他的《數學解題學引論》中斷言：分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑，至少沒找到更好的途徑之前，這是一個無以替代的好主意.一些專家也指出，一些學習用功的同學總是停留在知識型的水平上，不能形成較強的解題能力，其根本原因就在于他們沒有分析典型的例題，有分析自己的解題.相反，善于作解題過程分析的的學生，很快就形成一般解題能力，并且受益終生.［8］筆者認為羅先生這里強調的對解題過程的分析就是對解題的一種反思.反思的對象是解題認知過程，因此這種反思實際上就是一種元認知.經常進行題后反思有利于數學元認知能力提高，從而有利于學生解題能力的提高.

注重引導學生進行題后反思，是提高學生解題能力的重要途徑.那么，在實際教學中又如何引導學生進行反思呢？羅增儒先生提出了解題分析分為兩個步驟［9］并從四個方面分析解題過程.［10］筆者根據羅先生的思想，在平時的解題教學中注重在三個層次上引導學生進行題后反思.第一層次：反思解題過程本身；第二層次：反思新解法；第三層次：反思題目的變式推廣.對于每個層次，提煉一些反思“提示語”，通過平時潛移默化的過程，提高學生反思的自覺性.

數學元認知影響數學問題解決的重要因素，在平時的教學中通過引導學生建立目標體系、暴露思維過程及引導學生進行題后反思，能有有效提高學生的數學元認知水平，從而提高學生解題能力.

1.沈文選.數學解題和解題研究的重新認識.數學教育學報，2005，14（1）：59.

2.湯服成，郭海燕，唐劍嵐.初一學生數學問題解決中動靜元認知研究.數學教育學報，2002，11（4）：6.

3.波利亞.數學的發現.數學教育學報，2002，11（4）：6.

4.涂榮豹.數學解題學習中的元認知.中學數學教學參考，1998（1-2）：40.

5.鄭雅允，劉紅，宋玲花，巍朝琦.高中生數學解題中元認知與思維定式的關系研究.北京師范大學學報，1989（1）：68－74.

6.董奇.論元認知.中學數學教學參考，1998（1－2）：40.

7.陳榮華，姜慶彥.高中數學解題教學的一些體會.中學數學教學參考，1998（1－2）：40.

8.羅增儒.解題分析——解題教學還缺少什么環節［J］.中學數學教學參考，1998（1－2）：40.

9.羅增儒.解題分析——分析解題過程的兩個步驟.中學數學教學參考，1998（1－2）：18.

10.羅增儒.解題分析——分析解題過程的四個方面［J］.中學數學教學參考，1998（1－2）：18.