對(duì)數(shù)不等式的源與流

☉浙江省溫州中學(xué) 林慶望

對(duì)數(shù)不等式的源與流

☉浙江省溫州中學(xué) 林慶望

含對(duì)數(shù)的不等式常用構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法證明，但這種方法并不是放之四海而皆準(zhǔn)的，有時(shí)會(huì)遇到導(dǎo)數(shù)越求越麻煩的情況，使思路陷入僵局.下面介紹一個(gè)基本對(duì)數(shù)不等式，用它可以證明一些含有對(duì)數(shù)的不等式問(wèn)題，以此說(shuō)明它在解決含對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題中的優(yōu)越之處.

一、基本對(duì)數(shù)不等式

評(píng)注：對(duì)于ln（1+x）＜x，從幾何意義上來(lái)說(shuō)，y=x為y=ln（1+x）在x=0處的切線方程， 即當(dāng)x＞－1時(shí)，函數(shù)y=ln（1+x）的切線圖像始終在y=ln（1+x）的圖像上方.如圖1所示.

圖1

二、應(yīng)用舉例

證明：令t=π－x，原不等式等價(jià)于：

評(píng)注：第（2）問(wèn)中先分析結(jié)論an＜e2，兩邊取對(duì)數(shù)后原問(wèn)題相當(dāng)于要證明lnan＜2，而原題中給出的是an與an+1的遞推關(guān)系式，因此想到采用“插項(xiàng)”的手法來(lái)證明（lnan－lnan－1）+（lnan－1－lnan－2）+…+（lna2－lna1）+lna1＜2，而這里的關(guān)鍵是要用到第（1）問(wèn)的結(jié)論和ln（1+x）＜x.

例3（2010年全國(guó)卷一理20）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx－x+1.

（1）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍.

（2）證明：（x－1）f（x）≥0.

證明：（1）略.

（2）由基本對(duì)數(shù)不等式ln（1+x）＜x，可得lnx≤x－1.

評(píng)注：第（2）問(wèn)采用“分解”的眼光將原不等式的證明轉(zhuǎn)化為對(duì)f（x）符號(hào)的討論，分0＜x＜1和x≥1進(jìn)行討論，而這里f（x）符號(hào)的確定是ln（1+x）＜x這一不等式在起關(guān)鍵作用.