應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和積分構(gòu)造組合數(shù)公式

☉北京化工大學(xué)附屬中學(xué) 吳紅喜

☉北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心 郭 璋

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和積分構(gòu)造組合數(shù)公式

☉北京化工大學(xué)附屬中學(xué) 吳紅喜

☉北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心 郭 璋

新課標(biāo)教材中增加了導(dǎo)數(shù)和積分兩部分內(nèi)容，這就為我們研究中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容增加了新的數(shù)學(xué)工具、新的指導(dǎo)思想和新的數(shù)學(xué)方法，而且應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和積分的思想方法，簡(jiǎn)單明了，不必應(yīng)用更多的恒等變形的技能和技巧，有時(shí)還可以得到新的結(jié)果，一舉多得.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和積分構(gòu)造組合數(shù)公式就是其中之一.

一、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探究組合數(shù)公式

在二項(xiàng)式定理

我們將上述二項(xiàng)展開式的兩邊都看成自變量x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，可以得到一組優(yōu)美的組合數(shù)公式.但是直接對(duì)（A）式兩邊求導(dǎo)，因?yàn)槌?shù)的導(dǎo)數(shù)為0，所得公式中沒有C0n，不是所有的組合數(shù)公式，我們采用下面簡(jiǎn)單的方法得到的是所有組合數(shù)的公式，與我們看到的參考文獻(xiàn)《母函數(shù)》（史濟(jì)懷）中的組合數(shù)公式相符.

把（A）式兩邊分別乘以x，得：

繼續(xù)以上的方法，還可以得到類似的組合數(shù)公式，在此不一一贅述.

二、應(yīng)用積分探究組合數(shù)公式

對(duì)（A）式兩邊分別取定積分，當(dāng)下限為x，上限為0時(shí)，令x=－1，得：

我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與積分得到以上14個(gè)優(yōu)美的組合數(shù)公式，應(yīng)用適當(dāng)?shù)暮愕茸冃芜€可以得到更多更優(yōu)美的組合數(shù)公式.請(qǐng)讀者探究.

1．史濟(jì)懷.母函數(shù)［M］.上海：上海教育出版社，1981.

2.劉紹學(xué)，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4［M］.北京：人民教育出版社，2005.