高等解析幾何視野下幾類特殊平面法向量的求解技巧

☉湖北省水果湖高級中學 張德尚

高等解析幾何視野下幾類特殊平面法向量的求解技巧

☉湖北省水果湖高級中學 張德尚

一、問題提出

在高中數學教學中，常常用向量法解決立體幾何問題，比如用平面的法向量去求二面角的大小、線面角、空間距離，去證明線線關系、線面關系等.但是，大部分學生在計算法向量時常常算錯，導致立體幾何題嚴重失分.本文試圖用高等解析幾何中的平面方程及法向量知識來總結幾類特殊的平面的法向量的求法，從而使學生少犯計算錯誤，大大提高計算的正確率.

二、高等解析幾何中的平面方程的兩個引理及結論和推廣

這就是平面的截距式方程，類似于直線的截距式方程.

同樣，推論（3）與（4）的法向量的取法同此原理.

三、結論及推論的應用

例1 （2011年湖南（）如圖1，在圓錐PO中，已知PO=，⊙O的直徑AB=2，C是的中點，D為AC的中點.

（1）證明：平面POD垂直于平面PAC；

（2）求二面角B－PA－C的余弦值；

（3）（改編）你能根據經驗直接寫出平面PAC和平面PCB的法向量嗎？試求出二面角A-PC-B的平面角的余弦值.

圖1

圖2

解：（1）略.

說明：在平面PAC與平面PCB中，有三個點都在坐標軸上，可以根據推論（1）直接寫出這兩個平面的法向量.

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）（改編）直接寫出平面PAC的法向量和平面PBC的法向量；

（3）求二面角Q－BP－C的平面角的余弦值.

圖3

圖4

解：（1）略.

例3 如圖5，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD；

（2）若PD=AD，求二面角A－PB－C的平面角的余弦值.

圖5

圖6

解：（1）略.

例4 （2011年上海）已知ABCD－A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交點.

（3）（改編）在（2）的條件下，試求平面AB1C1與平面B1D1D所成銳二面角的余弦值.

解：（1）略.

圖7

例5 （2012年天津）如圖5，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（1）證明PC⊥AD；

（2）求二面角A－PC－D的正弦值；

（3）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

解：（1）略.

圖8

（3）略.

值得指出的是，以上這些例題中的法向量的求法，都省去了解題的步驟和格式，只應用了結論和推論.這些技巧是用來幫助同學們保證計算的正確性的，在平時的作業和考試中，還是得遵循用向量法解空間幾何問題的步驟與格式，這樣才能做到規范、嚴謹、正確.