解讀數學思想方法在高考中的考查亮點

☉江蘇省大豐高級中學 裴柏順

解讀數學思想方法在高考中的考查亮點

☉江蘇省大豐高級中學 裴柏順

數學思想與數學方法是數學的靈魂與精華.考綱明確要求：“通過對數學知識的考查，反映考生對數學思想方法的理解；要從數學的整體意義和思想價值立意，有效的檢測考生對中學數學知識中所蘊涵的數學思想方法的掌握程度.”筆者通過對近些年高考試題的研究發現，高考命題專家不再追求知識點的全面覆蓋，但致力于數學思想方法的全面考查.下面筆者以近兩年湖北數學高考文科試題為材料，具體為您解讀“數學思想方法”在高考中的考查.

一、數形結合思想

數形結合思想就是通過“以形助數，以數析形”，能夠變抽像思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質.

解讀：本題的實質是考查三角函數的圖像，利用三角函數圖像解三角不等式.

解讀：本題考查直線與半圓有公共點問題，作出圖像找出臨界狀態，從而分別求出b的值.其本質還是通過數形結合思想找交點問題.

點評：數形結合思想是解決數學問題的一種最常用的方法與技巧，在解決選擇、填空題中發揮奇效.事實上每年的高考，以數形結合思想為解題突破口的試題總占有一席之地.

二、函數與方程思想

函數思想指的是：研究變量中的數量關系，建立函數關系式或構造函數，運用函數的圖像與性質去分析、轉化問題，從而使問題獲得解決的方法.

方程思想指的是：分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，通過解方程或方程組去解決問題的方法.此外函數、方程及不等式三者一體，能夠相互轉化，在解題過程中，要隨機轉化以達到解決問題的目的.

例3 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時.研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數.

（1）當0≤x≤200時，求函數的表達式.

（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數（單位：輛/小時）f（x）=x·v（x）可以達到最大？并求出最大值.（精確到1輛/小時）

解讀：本題的實質是先建立函數關系式，再利用相應函數的圖像與性質求出最值.

點評：函數與方程思想是中學數學最基本的，也是最重要的思想，是每年高考的重點.

三、分類討論思想

分類討論思想的本質是：化整為零，各個擊破，再積零為整的一種數學策略.高考中的壓軸題往往難在所給的問題不能進行統一的研究，需要按某個標準分類，再一一分類予以解決.

例4平面內與兩定點A1（-a，0）、A2（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡.A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系.

解讀：本題先求得圓錐曲線方程，再對參數m討論，分別得到相應的圓錐曲線的形狀.

點評：從近年高考試題來看，壓軸題總是伴隨著分類討論.

四、化歸與轉化思想

化歸與轉化思想的本質是：揭示聯系，實現轉化.每個數學問題的解決就是從未知向已知轉化的過程.化歸與轉化思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程.比如從未知到已知的轉化，復雜到簡單的轉化，特殊與一般的轉化等.

例5 在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期，從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質期飲料的概率為________.

解讀：本題采用“正難則反”方法，將問題轉化為求任取2瓶都沒有過保質期的概率.

高考中常考的數學方法有：消元方法，換元方法，特值方法，引入直角坐標系方法等.

五、消元方法

研究方程的一個基本功能是消元，消元可以減少未知數的個數，簡化問題.

例6 若定義在R上的偶函數f（x）和奇函數g（x）滿足f（x）+g（x）=ex，則g（x）=（ ）.

解讀：本題考查奇偶性的定義與性質，但問題的最終解決是運用消元思想，要想求得g（x）的解析式，必須消去f（x）.

點評：學生最怕多變量了，消元方法的強大功能在于能減少未知數的個數，正好能解學生的“燃眉之急”.

六、換元方法

換元的目的是化陌生為熟悉，化復雜為簡單.許多含根號的不等式、指數不等式的求解都是換元后轉化為常規不等式解決的.

點評：要注意換元后挖掘新元的范圍.

七、特值方法

特值法是實現“小題小解”、“小題巧解”的常用方法.這種方法不需要正面的推理與求證，只需檢驗是否滿足題意，能優化不少思維量與運算量.

例8 記實數x1，x2，…，xn中的最大數為max{x1，x2，…，xn}，最小數為min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三邊長為a、b、c（a≤b≤c），定義它的傾斜度為

則“t=1”是“△ABC為等邊三角形”的（ ）.

A，充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解讀：這是一個必要不充分條件.在推導不充分時，只需舉個反例即可.如a=3，b=4，c=5.

點評：基本上每年都有能使用特值法去解決的客觀題，學生如果能靈活使用特值法能省時省力.