立體幾何中點的位置探索問題的解題策略

☉湖北省襄陽市第五中學 謝 偉

立體幾何中關于點的位置的探索性問題是高考立體幾何的熱點和難點，由于這類問題不僅具有較強的趣味性、靈活性和隱秘性，而且問題情境新穎，解法靈活多變，因而能夠很好地考查學生對基礎知識的掌握情況，考查學生分析問題、解決問題的能力.下面以近年高考試題為例談談這類問題的解題策略.

一、觀察圖形，直接探究

例1 （2011年浙江理）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

（1）證明：AP⊥BC；

（2）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

分析：觀察圖形可以發現BC?平面BCM，AP?平面ACM，結合已證明的AP⊥BC，根據直線與平面垂直的判定定理，只需要BM⊥AP，就可以得到AP⊥平面BCM，再根據平面與平面垂直的判定定理可知，平面ACM⊥平面BCM.因此，點M的位置是過點B作AP的垂線的垂足.

解：（1）略；

（2）如圖2，在平面PAB內作BM⊥PA于M，連接CM，由（1）知AP⊥BC，則AP⊥平面BMC.又AP?平面APC，所以平面BMC⊥平面APC.在RtPO2+OD2，在Rt△PBD中，PB2=PD2+DB2，所以，PB2=PO2+OD2+DB2=36，則PB=6.在Rt△POA中，PA2=AO2+OP2=25，則PA=5.cos∠BPA=從而PM=PBcos∠BPA=2，所以AM=PA-PM=3.

綜上所述，存在點M符合題意，AM=3.

評注：解題的關鍵是觀察出BC?平面BCM、AP?平面ACM和線線垂直（AP⊥BC）的圖形特征，結合相關定理可知只需要BM⊥AP，根據試題的已知條件執因索果，找到滿足條件的點.

二、執果索因，反溯探究

例2 （2010年遼寧文）如圖3，棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

（1）證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

（2）設D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D ∶DC1的值.

圖3圖4

分析：如圖4，由于過A1B的平面A1BC1與平面B1CD相交于直線DE，要使得A1B∥平面B1CD成立，根據線面平行的判定定理，只需要A1B∥DE即可，而問題是：A1B∥DE是否成立呢？根據線面平行的性質定理，既然A1B∥平面B1CD，那么A1B∥DE必然成立，說明思考的方向是正確的.再注意到點E是BC1的中點，易知點D是A1C1的中點.

解：（1）略.

（2）如圖4，設BC1交B1C于點E，連接DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線，因為A1B∥平面B1CD，根據線面平行的判定定理，A1B∥DE.又E是BC1的中點，所以，點D是A1C1的中點.即A1D ∶DC1=1.

評注：本題解題的關鍵是執果索因，反溯使得結論成立的條件，其中直線與平面平行的判定定理和性質定理為尋找到解題突破口提供了保證.

三、代數方法，推理探究

例3 （2011年福建理）如圖5，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，

（1）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（2）設AB=AP，

（i）若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；

（ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等？說明理由.

例3的代數方法的分析：存在型探索性問題一般先假設“對象”存在，然后根據題設探求可能的對象，并進行驗證或者否定.由于點G是在線段AD上，因此，根據GC=CD和∠GDC=45°可以確定線段AD上到點D距離為1的點是點G的唯一可能的位置.剩下的任務就只是確認點G到其他點的距離是否也是1即可.

例3的代數解法：（1）略.

（2）（i）AB=0.8（過程略）.

（ii）如圖6，假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等，由GC=CD，得∠GCD=∠GDC=45°，從而∠CGD=90°，即CG⊥AD，GD=CD·sin45°=1.設AB=λ，則，這與GB=GD矛盾.所以，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等.

評注：代數方法是解決幾何問題的常用思想方法，體現了數形結合的思想，對于用幾何方法直接求解比較困難的問題可以考慮用代數方法解決.

四、向量方法，計算探究

例3的向量方法的分析：在假設“對象”存在之后，由于點G的不確定性，直接驗證或者否定點G都比較困難.在這種情況下，可以、建立空間直角坐標系，利用向量方法求解.

例3的向量解法：（ii）以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz，如圖7，設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t），由AB+AD=4，得AD=4-t，所以C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）.假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等，設G（0，（2），由（1）、（2）消去t，化簡得m2-3m+4=0（3）.由于方程（3）沒有實數根，因此，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等.

評注：向量方法是解決立體幾何問題的基本方法，運用向量方法解題時，要注意根據幾何圖形特點建立合適的坐標系，并且要細心運算，防止運算出錯，這是用向量方法解題的關鍵.