立體幾何中點(diǎn)的位置探索問題的解題策略

☉湖北省襄陽市第五中學(xué) 謝 偉

立體幾何中關(guān)于點(diǎn)的位置的探索性問題是高考立體幾何的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，由于這類問題不僅具有較強(qiáng)的趣味性、靈活性和隱秘性，而且問題情境新穎，解法靈活多變，因而能夠很好地考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.下面以近年高考試題為例談?wù)勥@類問題的解題策略.

一、觀察圖形，直接探究

例1 （2011年浙江理）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

（1）證明：AP⊥BC；

（2）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)BC?平面BCM，AP?平面ACM，結(jié)合已證明的AP⊥BC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，只需要BM⊥AP，就可以得到AP⊥平面BCM，再根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知，平面ACM⊥平面BCM.因此，點(diǎn)M的位置是過點(diǎn)B作AP的垂線的垂足.

解：（1）略；

（2）如圖2，在平面PAB內(nèi)作BM⊥PA于M，連接CM，由（1）知AP⊥BC，則AP⊥平面BMC.又AP?平面APC，所以平面BMC⊥平面APC.在RtPO2+OD2，在Rt△PBD中，PB2=PD2+DB2，所以，PB2=PO2+OD2+DB2=36，則PB=6.在Rt△POA中，PA2=AO2+OP2=25，則PA=5.cos∠BPA=從而PM=PBcos∠BPA=2，所以AM=PA-PM=3.

綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3.

評(píng)注：解題的關(guān)鍵是觀察出BC?平面BCM、AP?平面ACM和線線垂直（AP⊥BC）的圖形特征，結(jié)合相關(guān)定理可知只需要BM⊥AP，根據(jù)試題的已知條件執(zhí)因索果，找到滿足條件的點(diǎn).

二、執(zhí)果索因，反溯探究

例2 （2010年遼寧文）如圖3，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

（1）證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

（2）設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1D ∶DC1的值.

圖3圖4

分析：如圖4，由于過A1B的平面A1BC1與平面B1CD相交于直線DE，要使得A1B∥平面B1CD成立，根據(jù)線面平行的判定定理，只需要A1B∥DE即可，而問題是：A1B∥DE是否成立呢？根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，既然A1B∥平面B1CD，那么A1B∥DE必然成立，說明思考的方向是正確的.再注意到點(diǎn)E是BC1的中點(diǎn)，易知點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn).

解：（1）略.

（2）如圖4，設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線，因?yàn)锳1B∥平面B1CD，根據(jù)線面平行的判定定理，A1B∥DE.又E是BC1的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn).即A1D ∶DC1=1.

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是執(zhí)果索因，反溯使得結(jié)論成立的條件，其中直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理為尋找到解題突破口提供了保證.

三、代數(shù)方法，推理探究

例3 （2011年福建理）如圖5，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，

（1）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（2）設(shè)AB=AP，

（i）若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；

（ii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等？說明理由.

例3的代數(shù)方法的分析：存在型探索性問題一般先假設(shè)“對(duì)象”存在，然后根據(jù)題設(shè)探求可能的對(duì)象，并進(jìn)行驗(yàn)證或者否定.由于點(diǎn)G是在線段AD上，因此，根據(jù)GC=CD和∠GDC=45°可以確定線段AD上到點(diǎn)D距離為1的點(diǎn)是點(diǎn)G的唯一可能的位置.剩下的任務(wù)就只是確認(rèn)點(diǎn)G到其他點(diǎn)的距離是否也是1即可.

例3的代數(shù)解法：（1）略.

（2）（i）AB=0.8（過程略）.

（ii）如圖6，假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等，由GC=CD，得∠GCD=∠GDC=45°，從而∠CGD=90°，即CG⊥AD，GD=CD·sin45°=1.設(shè)AB=λ，則，這與GB=GD矛盾.所以，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等.

評(píng)注：代數(shù)方法是解決幾何問題的常用思想方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)于用幾何方法直接求解比較困難的問題可以考慮用代數(shù)方法解決.

四、向量方法，計(jì)算探究

例3的向量方法的分析：在假設(shè)“對(duì)象”存在之后，由于點(diǎn)G的不確定性，直接驗(yàn)證或者否定點(diǎn)G都比較困難.在這種情況下，可以、建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求解.

例3的向量解法：（ii）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖7，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t），由AB+AD=4，得AD=4-t，所以C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）.假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等，設(shè)G（0，（2），由（1）、（2）消去t，化簡得m2-3m+4=0（3）.由于方程（3）沒有實(shí)數(shù)根，因此，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等.

評(píng)注：向量方法是解決立體幾何問題的基本方法，運(yùn)用向量方法解題時(shí)，要注意根據(jù)幾何圖形特點(diǎn)建立合適的坐標(biāo)系，并且要細(xì)心運(yùn)算，防止運(yùn)算出錯(cuò)，這是用向量方法解題的關(guān)鍵.