嚴重噪聲污染下的模糊圖像復原方法

周 徽

(中國電子科技集團公司第二十八研究所，南京 210007)

數字圖像復原/恢復技術(以下簡稱復原技術)是數字圖像處理的重要研究內容，已在諸多領域取得了成功應用［1］。

由于現有的圖像系統都存在某種程度的缺陷，呈現出各種退化因素，因而進行圖像復原是必要的。總體上退化因素可以歸結為2類。①空間退化，又稱為模糊。成像系統中某些元件失常、圖像傳感器與成像目標之間的相對移動、攝像機失焦、不良天氣影響等因素都會造成圖像模糊。②點退化，通常指噪聲。最常見的點退化來自電子元件或數字化噪聲。

圖像退化過程可被模型化為一個退化函數和一個加性噪聲項共同作用于原始圖像f(x，y)，從而產生一幅退化的圖像g(x，y)，如圖1所示。根據該模型，退化圖像的數學描述見式(1)。

其中:g(x，y)代表退化圖像;f(x，y)代表未退化圖像;n(x，y)代表噪聲項;h(x，y)代表模糊算子，又稱點擴展函數(point spread function，PSF);符號“*”代表卷積。為了便于描述，式(1)改寫為矩陣形式

其中:f、g和n為NM×1維向量，由二維圖像按行或者列堆積而成;H是由PSF生成的MN×MN塊循環矩陣。

圖1 基本圖像退化/復原模型

理論上，在給定f(x，y)以及退化函數H和噪聲n(x，y)的一些先驗知識后，便可以獲得原始圖像的一個近似估計f^(x，y)。然而，式(2)具有病態特性，導致直接求解不容易實現，只能先設法對式(2)施加一定的約束，將其病態轉為良態后再設法求其最優估計解。這個估計應能盡可能接近原始圖像。

針對該問題，人們提出過許多方法，如在已知g、H與n有關的先驗知識的前提下，去求原圖像的逼近解。在這些方法當中，Tikhonov正則化方法最具優勢［2］。該方法是一個在L2空間的最小方差近似問題，能夠平衡精確性與平滑性［3］，因而得到廣泛研究。它將式(2)變為帶約束條件的優化解，即

其中:ψdata(f，g)表示數據逼近項;φreg(Qf)表示正則化項;Q為高通濾波算子;d為正則化參數，用以控制數據逼近項與正則化項的空間分布。理論上，在 L(α，f)最小化，即條件下的解就是原圖像f(x，y)的最優逼近解。

在正則化方法應用中確定正則化參數是非常關鍵的一步。人們先后提出過許多關于如何選擇正則化參數的方法。Galatsanos等［4］提出了基于均方誤差(MSE)評判標準的正則化參數選擇和噪聲變量估計方法。Nakano等［5］提出用權矩陣的方式優化正則化效果，而局部正則化優化權矩陣從迭代過程獲得。Reeves［6］則給出了在限制性條件下，用交叉有效性準則判斷正則化最優度的方法。Molina等［7］將等級貝葉斯方法應用到圖像復原中，提出了一個3步方法。該方法在每個步驟中完成1個正則參數的確定，降低了對噪聲先驗知識的依賴性。Leung［8］提出用L曲線作為選取正則化參數的依據，通過實驗驗證了L曲線的曲率與正則化參數優異性之間的相關性，其結論是:當曲率最大化時，取得的參數是最優的。Demoment［9］綜述了正則化方法的詳細內容。

上面提到的正則化參數選取方法都具有全局性限制，即參數在算法開始之前就已經確定，導致過分依賴于先驗信息，無法在算法迭代過程中自適應修正。與上面的方法不同，Katsaggelos等［10］提出用正則化函數取代全局正則化參數的方法，使算法能夠自適應地修改正則化參數，大幅提高了算法的效率。本文的工作就是充分利用該思想，提出一種改進的自適應加權正則化迭代圖像復原方法，增強算法對強噪聲存在時的適應性。

1 自適應正則化函數

用含有自變量f的正則化函數α(f)代替全局正則化參數α，建立目標平滑泛函式(4)。

目標泛函建立之后，正則化參數的選擇至關重要。自適應正則化函數α(f)的選取應滿足3條性質［10］:① α(f)為平滑泛函的函數;② α(f)與目標泛函之間需滿足一定的極值性質，即當時，α(f)→0;‖g － Hf‖時，α(f)→∞;③ 在α(f)取值范圍內不改變目標泛函的凸函數性質。

根據上面性質，假設存在正實數λ使得式(5)成立，則

正則化項用于懲罰解的粗糙性，然而過分的懲罰會造成解的過分平滑，抑制算法對高頻成分的恢復，從而導致復原結果在圖像強度變化劇烈處產生振鈴效應，影響圖像視覺效果。因此，在復原濾波時，必須將圖像局部細節特性考慮在內，采取加權形式增強算法的局部適應能力，提高算法對振鈴的抑制能力，改善復原質量［5］。

文獻［11］認為，圖像中小的梯度值對應噪聲，需對其進行平滑，而大的梯度值則對應圖像邊緣輪廓，應給予保護。根據該理論，定義加權正則化項為

其中W是由wij構成的矩陣，wij定義為

加權后的自適應正則化函數如式(10)所示。

2 迭代復原算法及收斂性分析

圖像復原過程等價于式(4)定義的平滑函數逼近最優解的過程。由于目標泛函的凸性，恰當地選取正則化參數能夠使式(4)存在唯一的全局最優解。該最優解在平滑函數梯度為0時取得，即

將式(11)對f求導，得

因為α(fk)是第k次迭代結束后計算出的參數，用于第k+1次迭代，所以▽fα(f)=0，從而式(12)化簡為

建立逐步逼近的Van Cittert格式的迭代等式:

首先分析算法的收斂性，改寫式(14)為

對式(15)左右兩邊同時取范數，并根據矩陣范數與向量范數的協調性，有

反復使用這個不等式得

下面分析算法的收斂條件。因為‖A‖＜1等價于 ρ(A)＜ 1，有

其中ρ(·)定義為“·”的譜半徑。根據三角不等式，上式等價于

通過規范化H、C可使ρ(HTH)和ρ(CTC)均不大于1，從而算法收斂的充分條件演變為α(f)＜1，即

算法流程描述:

步驟1 設置初始值f0=g，迭代計數值k=0，設定算法終止條件ε=10－7，開定時器。

步驟2 在第k步迭代中，自動修正正則化參數αk(fk)，并利用式(14)對圖像進行復原濾波。更新fk+1。

步驟4 關定時器，計算復原評價指標ISNR，顯示復原結果。

3 實驗與分析

選擇2組實驗驗證本文提出算法的有效性。第1組是樣條圖像，用來驗證算法對圖像邊緣恢復的效果;第2組是經典的lena圖像，用來驗證算法對圖像細節恢復的效果。

實驗1 樣條圖像尺寸為158×300的灰度圖像，如圖2(a)所示。本實驗在PC機(CPU為P42.4GHz，內存512 Mbytes)上進行，模糊算子H取為11×11的均勻模糊，隨機疊加信噪比為20 dB的高斯噪聲，C取2－D拉普拉斯算子。判據‖fk+1－fk‖/‖fk‖ ＜10－7作為算法終止迭代的條件，改進信噪比(improvement signal-to-noise ratio，ISNR)作為算法性能的評價指標，ISNR定義為

圖2 樣條圖像復原效果

圖2(a)、(c)、(e)分別為原始樣條圖像、退化圖像和復原圖像。圖2(b)、(d)、(f)分別為穿越圖2(a)、(c)、(e)中部的水平掃描線，其橫坐標為水平象素點，縱坐標為對應象素的亮度值。

由圖2(e)可以看出，相對于圖2(c)，算法恢復的視覺效果是比較理想的。圖2(f)給出的復原圖像中部的掃描線說明樣條交接的輪廓線基本得以復原，顯然較圖2(d)有明顯改善。實驗獲得的具體參數見表1和圖4。

實驗2 lena圖像尺寸為300×300的灰度圖像，如圖3所示。其他條件同實驗1。圖3(a)、(b)分別為退化的lena圖像和復原后的lena圖像。圖3(c)、(d)分別為圖3(a)、(b)的局部放大圖像。實驗獲得的具體參數見表1和圖4。

圖3 lena圖像恢復效果

表1 實驗結果參數

圖4 收斂誤差曲線

圖4給出2組實驗中每一迭代步驟對應的誤差判據變化曲線，其中圖4(a)是樣條圖像，圖4(b)是lena圖像，橫坐標對應迭代次數，縱坐標對應誤差判據值。由圖4可以看出，無論迭代初始條件如何，算法能夠以較少的迭代次數快速平穩地趨向于最優估計解。

4 結束語

本文提出一種改進的自適應加權正則化迭代圖像復原算法。該算法能夠自適應地選擇并自動修正正則化參數。算法對初始值不敏感，在每步迭代中，算法完成1次復原濾波，并更新正則化參數，確保結果能夠快速趨向于最優。討論了算法的收斂性與收斂條件，通過建立顯式迭代復原算法尋找全局最優解。該算法具有占用內存小、計算速度快等優點。無需任何噪聲信息作為先驗知識，算法通過觀測圖像本身自適應估計并調整正則化參數以適應強噪聲存在下的復原操作。用2組實驗驗證了算法的有效性。結果顯示:該算法能提高算法對強噪聲存在的適應性，抑制Gibbs振鈴波紋，具有較好的評價結果和較高的實時性。

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