AHP－QFD綜合模式在行星齒輪減速器多目標優化設計中的應用

江擒虎， 胡文超， 年陳陳

（合肥工業大學 機械與汽車工程學院，安徽 合肥 230009）

當前，基于顧客需求的產品設計已成為市場經濟和競爭發展背景下的一種趨勢，愈來愈多的顧客希望能按照他們的需求生產產品。對企業而言，產品質量的內涵已經發生了本質的轉變，即從滿足狹義的設計需求轉變為廣義的滿足顧客需求。為保證產品能為顧客所接受，企業必須全面研究和分析顧客需求，并將這些需求轉換成最終產品的特征，同時配置到制造過程的各工序和生產計劃中。

1 質量功能展開原理

質量功能展開（Quality Function Deployment，簡稱QFD）的核心思想是從產品開發初的可行性分析、方案設計、技術設計到產品的生產都是以市場顧客的需求為驅動，強調將顧客的需求明確、完整地轉變為產品開發的設計部門、制造工藝部門以及生產計劃部門等有關人員均能理解執行的各種具體信息，從而保證最終能夠得到實現符合市場顧客需求的產品。簡單地說，QFD是一種基于用戶需求驅動的產品設計開發方法［1］。

1.1 質量屋

QFD的核心內容是基于需求的轉換，采用一種直觀的矩陣框架表達形式，即質量屋（House of Quality，簡稱 HOQ）形式，其是QFD的核心工具。質量屋提供了一種將用戶需求轉換成產品和零部件特征并展開到制造過程的直觀結構，通過建立質量屋的基本框架，給以輸入信息，通過分析評價得到輸出信息，從而實現了一種需求轉換。質量屋的基本形式如圖1所示［2］。

圖1 質量屋

（1）左墻。whats輸入項矩陣，表示需求什么，包含顧客需求及其重要度。是質量屋的“什么”，顧客對其各項需求進行評分，表明各項需求的重要程度，是質量屋最基本的輸入。

（2）天花板。hows矩陣，表示針對需求應該怎樣去做，是技術需求（即產品工程特征），是質量屋的“如何去做”，即為實現顧客需求可以采用的技術要求和方法。

（3）房間。相關關系矩陣，描述顧客需求與實現這一需求的產品技術特征的相關程度，一般用5－3－1表示，數字越大，關系越緊密。

（4）屋頂。hows的相互關系矩陣，表示技術需求矩陣中各項目間的關聯關系，分為正相關、不相關和負相關。

（5）右墻。評價矩陣，是指競爭性或可行性分析比較，即顧客競爭性評估，從顧客的角度評價產品的市場競爭力，包括計劃目標、水平提高率、產品特性點、相對權重、絕對權重及競爭公司評價矩陣等。

（6）地下室。hows輸出項矩陣，表示hows項的技術成本評價等情況，包含技術需求重要度、技術競爭性評估等，用來確定設計中應該優先考慮的項目。

質量屋建立完成后，通過定性和定量分析得到輸出hows項，即完成了“需求什么”到“怎樣去做”的轉換［3］。

1.2 重要度的轉換

重要度轉換的方法一般有比例分配法和獨立配點法，比例分配法中質量需求的相關數目和分布會影響技術特性重要度的結果，而獨立配點法能改進這種過大或過小的評價問題，故采用獨立配點法進行重要度的轉換［4］。技術特性重要度為：

其中，TIRj為第j個技術特性的重要度；CIRi為經過修正的第i個質量需求的重要度；Rij為第i個質量需求和第j個技術特性之間關系符號所對應的數字值。

經過重要度的轉換，將顧客需求轉變為技術需求，得到技術需求重要程度，將所得的技術需求權重用于多目標優化設計中的加權系數，對產品進行優化，得到的優化結果更加能夠反映顧客的需求。

1.3 QFD的缺陷

隨著對QFD理論研究與應用的不斷深入，傳統QFD理論與方法存在的缺陷和不足日益暴露出來，主要有以下2個方面［5］：

（1）不適合動態的復雜產品系統。傳統的質量功能展開不能解決顧客需求和制造過程中的動態反饋問題。

（2）標度尺度不統一，展開的精確程度低。如關系矩陣的打分，通常就有1－2－4、1－3－5、1－3－9等多個標度。這樣會導致展開的結果精確程度較低，尤其是經過數次關系矩陣的轉換，展開的精度會更低，顧客的真正要求不能在質量屋的轉換過程中得到正確體現。有些專家認為具有不同數學含義的2種離散標度相乘，將得到的評價結果作為設計要求的權重存在一些問題。例如，在數學上存在著困難；評價結果很不精確；用離散標度作為評價尺度，進行絕對判斷，一致性很差而且無法檢驗。

為了改進顧客滿意展開精度和評價結果的精確性，本文將層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP）引入 QFD中，彌補了QFD理論所存在的缺陷。

2 層次分析法

層次分析法把給出了定性描述的一組目標成對地加以比較，分析其相對重要程度，據此定量地得出各目標的權重，指導決策［6］。

（1）建立層次結構模型。這是AHP中最重要的一步，它把復雜問題分解為各組成部分，稱其為元素，把這些元素按屬性不同分成若干組，以形成不同層次。同一層次的元素作為準則，對下一層次的某些元素起支配作用，同時又受上一層元素的支配。這種從上至下的支配關系形成了一個遞階層次，最上層只有一個元素，是問題的預定目標或者理想結果，中間層次為子準則，最底層為解決方案。典型的層次圖如圖2所示。

圖2 遞階層次結構示意圖

（2）構造判斷矩陣。在層次分析法中，為了使決策判斷定量化，形成數值判斷矩陣，文獻［6］應用了1～9標度方法，其意義見表1所列。

表1 標度的含義

通過各元素的兩兩對比判斷，可以形成判斷矩陣c＝［cij］m×n，表示由此形成的顧客需求項目對滿足顧客總體需求的重要度判斷矩陣。

（3）層次單排序及其一致性檢驗。得出判斷矩陣后，通過（1）式、（2）式計算其特征向量，即

其中，wi就是顧客需求i的重要度值。

在求出特征向量后，應進行一致性檢驗。為此，需要計算出重要度矩陣的最大特征值：

然后計算一致性指數：

計算隨機一致性比率：

其中，RI為平均隨機一致性指數［7］。

CR不大于0.10時，重要度矩陣有滿意的一致性；CR大于0.10時，應對矩陣中的評分重新修正，直到滿足一致性要求。

（4）層次總排序。對于復雜的產品，顧客需求不止一級，多為分層結構。對于這類產品首先要確定第1級的顧客需求（父需求）重要度wi，然后用同一方法確定同屬于某一個父需求的重要度wij，表示屬于父需求i的第j項需求相對于父需求的重要度。若某父需求只有一項子需求則有wi＝wij，如此可以求得第j項子需求相對于總需求的總體重要度為wi×wij。如果質量屋還有更低層次的子需求，以此類推便可以得到各項子需求的總體重要度，得到的總體重要度可用于質量屋中的計算。

3 AHP－QFD 模型

將AHP用于分析顧客需求重要度，即將質量屋的左墻變成由層次分析法得到的判斷矩陣以及顧客需求重要度，然后再利用QFD的基本思想，得出工程特性的重要度，并以此為依據進行設計計算，即將傳統QFD模型的左墻變為由層次分析法得到的判斷矩陣及顧客需求重要度，其模型如圖3所示。

圖3 AHP－QFD模型

4 多目標優化設計

在產品設計時，顧客往往要求產品的幾項內容同時達到預期要求，這就要求設計人員在設計時要使幾項設計指標同時達到最優。這種在設計中同時要求幾項設計指標都達到最優的問題，稱為多目標優化問題，其模型如下［8－9］：

多目標優化設計算法有統一目標函數法、主要目標法及協調曲線法等，最常用的為線性加權組合法。其基本思想是在多目標最優化問題中，將其各個分目標函數f1（x），f2（x），…，ft（x）依其數量級和在整體設計中的重要度相應地給出一組加權因子ω1，ω2，…，ωt，取fi（x）與ωi的線性組合，人為地構成一個新的統一的目標函數，即

則多目標優化問題便可以寫成如下形式：

此種方法確定加權因子時，只需預先求出各單目標最優值，又反映了各單目標函數值離開各自最優值的程度。因此，適用于所有目標在整個問題中有同等重要程度的場合。若各分目標的重要程度不相等，可以在上述統一量綱的基礎上再另外賦以相應的加權因子值。這樣，加權因子的相對大小，才充分反映出各分目標在整個優化問題中的重要程度。

5 實 例

基于QFD的產品設計，可以運用于各種機械產品及其主要結構的方案設計與優化，現以某種NGW行星齒輪減速器的主要結構優化設計為例，描述其應用方法。

已知減速器的輸入功率P＝5kW，輸入轉速為n1＝960r／min，傳動比i＝6.3，單向連續運轉，負荷較平穩，要求使用壽命不低于15a。

太陽輪和行星輪的材料為20CrNi2MoA，表面滲碳淬火處理，表面硬度為57～61HRC；實驗齒輪齒面接觸疲勞極限σHlim＝1450MPa；實驗齒輪齒根彎曲疲勞極限，太陽輪σFlim＝400MPa，行星輪σFlim＝280MPa（對稱載荷），齒輪為漸開線直齒輪，精度為6級。內齒圈材料為42CrMo，調質處理，硬度為260～300HBS；實驗齒輪的接觸疲勞極限σHlim＝750MPa，實驗齒輪的彎曲疲勞極限σFlim＝280MPa；齒輪為漸開線直齒輪，精度為7級。

本例在給定承載能力情況下，以行星減速器的體積和效率為目標，對行星齒輪減速器進行優化。

5.1 設計變量

取太陽輪的齒數、模數和齒寬為設計變量，因此有：X ＝（za，m，b）T＝（X1，X2，X3）T。

5.2 體積目標函數

行星齒輪減速器的體積可以近似地用太陽輪和行星輪的體積代替［10］，則

其中，da為太陽輪的分度圓直徑；dg為行星輪的分度圓直徑；np為行星輪的個數，取3；b為齒寬。

用設計變量表示體積目標函數為：

5.3 效率目標函數

定軸齒機構效率（即轉化機構的效率）計算，我國僅計算嚙合損失一項［11］，則行星減速器的效率為：

對于NGW行星齒輪傳動，φH為轉化機構中行星輪與太陽輪之間的嚙合損失，即

μ一般為0.60～0.10，此處取0.10。

因此，可用設計變量表示效率目標函數為：

5.4 概念設計質量屋與約束條件

通過對市場顧客的調查，以外形尺寸（CR1）、承載能力（CR2）、效率（CR3）、傳動比誤差（CR4）、可靠性（CR5）為顧客需求建立行星齒輪減速器的總體概念設計質量屋，如圖4所示。通過（1）～（5）式計算，可知重要度矩陣有滿意的一致性。

約束條件如下［12－13］：

（1）根切條件：za≥17，即17－X1≤0。

（2）齒寬限制：b≥10，即10－X2≤0。

圖4 行星齒輪減速器概念設計質量屋

（3）模數限制：m≥1.25，即1.25－X3≤0。

（4）太陽輪齒寬系數φd限制：0.4≤φd≤1，則有0.4≤b／（mza）≤1，即0.4 X1X3－X2≤0，X2－X1X3≤0。

（6）滿足同心條件，m（za＋zg）／2＝ m（zbzg）／2，化簡得za＋2zg＝zb。

（7）滿足裝配條件，（za＋zb）／np＝m（m 是整數）。

（8）滿足鄰接條 件，2（ra＋rg）sin（π／np）＞2（rg＋），整理得3.46－X1≤0。

（9）滿足齒面接觸強度條件：

其中，u為齒數比；KA為使用系數，為1.25；Ktd為算式系數，為768；KHΣ為綜合系數，為2.2；T1為太陽輪單個齒輪傳遞轉矩，T1＝KPTA／np＝117.7N·m；KHP為載荷不均勻系數，為1.15；φd＝b／（mza）。

整理得：

（10）滿足齒根彎曲疲勞強度極限：

其中，Ktm為算式系數，直齒輪取17.5；KFP為載荷分配不均勻系數，KFP＝1＋1.5（KHP－1）＝1.225；KFΣ為綜合系數，為1.9。

整理得：

5.5 總體目標函數的建立

根據QFD所得到的技術需求重要度，得到加權權重為：λ1＝302／（302＋93）＝0.765，λ2＝93／（302＋93）＝0.235。通過 Matlab優化工具箱，可以得到體積最小值為1372400；效率只與齒數有關，故當齒數最小時效率取得最小值，即當齒數為17時，效率最小為0.9802。因此，行星齒輪減速器的統一目標函數為：

5.6 優化結果

利用Matlab中的fmincon函數［14］對行星齒輪減速器進行優化，其格式為：［x，fval，exitflag，output］＝ ［‘fun’，x0，A，b，A1，b1，LB，UB，‘nonlcon’］。fun為目標函數的 M 文件，nonlcon為約束條件的M文件，設置初始值為［22，40，3］。

（1）利用AHP－QFD得到的權重優化結果。體積目標函數權重為0.765；效率目標函數權重為0.235。齒數為21.797，圓整為22；齒寬為39.879mm，圓整為40；模數為2.4764903，圓整為2.5。體積為1413280mm3，效率為0.9847。

（2）利用經驗得到的權重優化結果。體積目標函數權重為0.5；效率目標函數權重為0.5。齒數為17，圓整為20；齒寬為43.097mm，圓整為45；模數為3.0714，圓整為3。體積為1892160mm3，效率為0.9832。

6 結束語

利用AHP－QFD模型得到的顧客需求重要度權重進行優化設計，不僅克服了傳統QFD存在的顧客滿意度無法檢驗的缺陷，而且其優化結果明顯好于利用經驗值所得的權重優化結果。優化后體積比利用經驗值優化的結果降低25.3%，效率也略有提高，真正地體現了顧客的需求。

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