本是同“根”生

張 瑜

南京市第十二中學 江蘇南京 210011

一、提出問題

我們知道，將兩個相交的圓的方程相減，得到兩圓公共弦所在直線方程，如果將兩個不相交的圓的方程相減，會得到什么呢？它具有什么性質呢？

很明顯，這個方程表示的是一條直線l。它有什么性質呢？設點 為直線上的任意一點，由（*）式可得：

即，所以

，可知 。

這說明，將兩圓的方程作差可以得到一條直線方程l，過l上的任意一點作兩圓的切線，則兩切線長相等，這條直線叫做兩圓的“根軸”。利用這一結論，我們可以方便地解題。

二、根軸的由來和相關性質

1．根軸的定義和方程

平面幾何中有一條著名的定理——圓冪定理：過平面上一定點M，任作一直線與半徑為R的定圓O交于A、B兩點，則MA MB為定值k（這里MA、MB、表示有向線段的數量），并且 。定值k為點M對圓O的冪，簡稱“圓冪”。可以證明：對于不同心的兩定圓等冪的點的軌跡，是垂直于連心線的一條直線，該直線稱為兩圓的根軸，也稱等冪軸。

當點在圓內時，點對圓的冪小于零；當點在圓上時，點對圓的冪等于零；當點在圓外時，點對圓的冪大于零（其值等于該點到圓的切線長的平方）。因此，對兩圓等冪的點或者同在兩圓內，或者同在兩圓上，或者同在兩圓外（此時該點到兩圓的切線長相等）。特別的，當兩圓相交時，根軸即兩交點的連心線；當兩圓相切時，根軸即為過切點的公切線；當兩圓外離或內含時，根軸與兩圓均不相交。

2.根軸的性質和相關結論

根軸的性質如下：

（1）平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

（2）若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

（3）若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線；

（4）蒙日定理（根心定理）：平滿上任意三個圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者相互平行，或者交于一點，這一點叫做它們的根心。

三、根軸的應用

由于根軸有明顯的幾何意義，其方程又很容易直接構造獲得，因此利用它解決問題，很多時候非常方便有效。下面把考試中常考的幾個題型利用根軸的性質來解答，拓寬我們的視野。

1.求切線的方程

2.求圓方程問題3.求對稱圓的方程

這些經典的題目，換了一種思路來做，開拓了思維，帶給我們更多的思考和啟發，讓教師們的解題思路多維且具有一定的高度。

要給學生一碗水，教師得是自來水。教師雖然面對的知識沒有變化，但自己要善于學習，豐富自己的知識，拓寬自己的眼界，做一個研究型的教師。

圓和直線題，有“軸”不要急，本是同“跟”生，構造來解題。