改進(jìn)的灰色模型在我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

陳友余

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 工商管理系，湖南 長(zhǎng)沙410205）

改進(jìn)的灰色模型在我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

陳友余

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 工商管理系，湖南 長(zhǎng)沙410205）

以擴(kuò)展我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)方法和提高預(yù)測(cè)精度為目標(biāo)，采用變起點(diǎn)對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)過(guò)程為建立一個(gè)預(yù)測(cè)模型群，改進(jìn)結(jié)果為從預(yù)測(cè)模型群中挑選精度最高、擬合程度最好的模型作為預(yù)測(cè)模型，通過(guò)實(shí)際應(yīng)用的確提高了預(yù)測(cè)精度和擬合程度，較大地增強(qiáng)了預(yù)測(cè)的可操作性和可信性。

GM（1，1）；變起點(diǎn)GM（1，1）；農(nóng)村人均純收入

一、引言

農(nóng)業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)，農(nóng)民問(wèn)題是“三農(nóng)”工作的重心。農(nóng)村人均純收入呈現(xiàn)持續(xù)增長(zhǎng)的同時(shí),城鄉(xiāng)收入差距較大,影響和制約農(nóng)民收入增長(zhǎng)的因素仍然存在?；诖?，本文依據(jù)2000～2010年農(nóng)村人均純收入數(shù)據(jù)，運(yùn)用改進(jìn)的灰色模型對(duì)我國(guó)農(nóng)村人均純收入進(jìn)行預(yù)測(cè)。

灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍教授首次提出的，解決了學(xué)術(shù)界一直無(wú)人解決的微積分方程建模問(wèn)題。其研究對(duì)象是“部分信息已知，部分信息未知”的小樣本、貧信息的不確定性系統(tǒng)，具有建模過(guò)程簡(jiǎn)單，建模表達(dá)式簡(jiǎn)潔等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、生物、農(nóng)業(yè)、醫(yī)藥、水利等領(lǐng)域，但其模型有一定的缺陷，不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了一定程度的改進(jìn)，殘差GM（1，1）模型在實(shí)際應(yīng)用廣泛。本文在傳統(tǒng)GM（1，1）模型的基礎(chǔ)上采用變起點(diǎn)方法進(jìn)行改進(jìn)，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)群，從預(yù)測(cè)群中挑選最優(yōu)的模型用于預(yù)測(cè)，這種方法一方面提高了預(yù)測(cè)精度和擬合程度，一方面增強(qiáng)了預(yù)測(cè)的可操作性和實(shí)用性。

二、傳統(tǒng)GM（1，1）模型

GM（1，1）模型是指，對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行一次累加，從而生成的序列具有強(qiáng)遞增特性，然后建立相應(yīng)的近似微分方程，來(lái)體現(xiàn)序列的發(fā)展規(guī)律。其方法如下：

（一）原始時(shí)間序列 x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），其中n為原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，對(duì)x（0）進(jìn)行一次累加生成序列x（1），即IAGO，得：x（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中（i），其中i=1，2，…，n（以下不做特殊說(shuō)明，i的取值與此相同）。

（二）檢驗(yàn)x（0）的準(zhǔn)光滑性和x（1）的準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。準(zhǔn)光滑系數(shù)時(shí)一般認(rèn)為滿足準(zhǔn)光滑條件；準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律指標(biāo)一般認(rèn)為滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。

（三）若p（i+1）<0.5，σ（1）（i）綴[1，1.5]，則GM（1，1）的白化微分方程為其中，-a為發(fā)展灰度，b為灰色作用量，a、b均為待定系數(shù)；t表示時(shí)間；由于x（1）（i）與灰導(dǎo)數(shù)不滿足平射關(guān)系，本文采用傳統(tǒng)方法對(duì)序列x（1）采用緊鄰均值生成序列 w（1），即w（1）=（w（1）（1），w（1）（2），…，w（1）（n）），其中w（1）（i+1）=0.5x（1）（i）+0.5x（1）（i+1）。于是白化微分方程對(duì)應(yīng)的灰微分方程為：x（0）（i）+aw（1）（i）=b.

于是x（0）（i）+aw（1）（i）=b可等價(jià)變形為：Y=BA，對(duì)于兩個(gè)未知系數(shù)（a與b）的n-1個(gè)方程是無(wú)解的，此時(shí)考慮利用最小二乘法近似得到A贊=（BTB）-1BTY，可求出近似解a贊，b贊。

（五）將a贊，b贊代入灰微分方程，求得離散響應(yīng)函數(shù)：

（六）對(duì)x贊（1）（i+1）進(jìn)行累減還原，得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值：

（七）精度檢驗(yàn)

（八）擬合度檢驗(yàn)

灰色關(guān)聯(lián)分析是通過(guò)確定原始序列和預(yù)測(cè)序列的幾何形狀的相似程度來(lái)判斷其緊密程度，從而對(duì)原始序列動(dòng)態(tài)發(fā)展態(tài)勢(shì)進(jìn)行量化比較分析。其步驟是將預(yù)測(cè)序列與原始序列進(jìn)行無(wú)量綱化處理，計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度，再根據(jù)關(guān)聯(lián)度的大小判定緊密程度。

第1步，變量的無(wú)量綱化，求原始序列與預(yù)測(cè)序列的初值像（或均值像），本文選用初值像；

ρ為分辨系數(shù)，ρ越小，分辨力越大，當(dāng)ρ燮0.5463時(shí)，分辨力最好，通常取ρ=0.5，本文也取ρ=0.5。

三、變起點(diǎn)GM（1，1）模型

在實(shí)際預(yù)測(cè)建模中，不一定用原始序列中全部的數(shù)據(jù)來(lái)建模。在原始序列中有規(guī)律挑選一部分?jǐn)?shù)據(jù) （數(shù)據(jù)至少為4個(gè)），就可建立一個(gè)模型。為了提高傳統(tǒng)GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度和擬合程度，建模數(shù)據(jù)中應(yīng)為包含x（0）在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列，基于這種思想，以x（0）為建模取值的終點(diǎn)，從后往前不斷取值，可以建立一個(gè)預(yù)測(cè)模型群，從預(yù)測(cè)模型群中挑選最優(yōu)的模型用于以后的預(yù)測(cè)，其建模和求解如下：

1.給定原始時(shí)間序列x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），其中n為原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；

2.用x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））建立的GM（1，1）模型為全部數(shù)據(jù)模型；用x（0）=（x（0）（i），x（0）（i+1），…,x（0）（n））（i叟2）建立的GM（1，1）模型為部分?jǐn)?shù)據(jù)模型；

3.由于最短時(shí)間序列中數(shù)據(jù)至少為4個(gè)，于是可建立一個(gè)4維子序列：（x（0）（n-3），x（0）（n-2），x（0）（n-1），x（0）（n）），依次往下，最后可建立一個(gè)n維子序列（即原時(shí)間序列），總共可建立n-3個(gè)子序列；

4.對(duì)各子序列按傳統(tǒng)GM（1，1）模型方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，并進(jìn)行精度檢驗(yàn)和擬合度檢驗(yàn)，從模型群中挑選最優(yōu)的模型應(yīng)用于預(yù)測(cè)。

四、改進(jìn)的灰色模型在我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

21世紀(jì)開局以來(lái)，我國(guó)農(nóng)村人均純收入見(jiàn)下表，數(shù)據(jù)均來(lái)至于《全國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》。

表1 ：我國(guó)2000~2010年農(nóng)村人均純收入（單位：元）

（一）構(gòu)建傳統(tǒng)GM（1，1）模型

首先建立我國(guó)農(nóng)村人均純收入序列，同時(shí)對(duì)x（0）進(jìn)行一次累加生成序列x（1），即I-AGO，計(jì)算過(guò)程在此不贅述；然后檢驗(yàn)x（0）的準(zhǔn)光滑性和x（1）的準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。當(dāng)i＞2時(shí)，p（i）<0.5，σ（1）（i）綴[1，1.5]，滿足準(zhǔn)光滑性和準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律要求，構(gòu)造矩陣B和常數(shù)矩陣Y；再應(yīng)用Excel中的LINEST可求出a贊=-0.1107，b贊= 1773.23； 將a贊，b贊代灰微分方程， 求得離散響應(yīng)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，對(duì)進(jìn)行累減還原，得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，最后進(jìn)行精度檢驗(yàn)，通，s1=過(guò)計(jì)算，平均相對(duì)誤差，可見(jiàn)可見(jiàn)后驗(yàn)差比值c<0.35，小誤差頻率P=1，關(guān)聯(lián)度為0.6366，可見(jiàn)預(yù)測(cè)誤差的一般水平很低，預(yù)測(cè)誤差擺動(dòng)的幅度小，誤差較小的概率達(dá)到了100%，可知精度高，能達(dá)到擬合要求。可見(jiàn)，我國(guó)2000~2010年農(nóng)村人均純收入序列能完全通過(guò)檢驗(yàn)，可用于預(yù)測(cè)。

（二）變起點(diǎn)GM（1，1）模型

1.由于n=11,故可建立8個(gè)子序列。

2.對(duì)各子序列按傳統(tǒng)GM（1，1）模型方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，得各模型對(duì)應(yīng)的離散響應(yīng)函數(shù)；通過(guò)計(jì)算平均相對(duì)誤差、后驗(yàn)差比值和小誤差頻率和灰關(guān)聯(lián)度，對(duì)各子模型進(jìn)行精度比較和擬合程度比較：平均相對(duì)誤差方面，11維子序列達(dá)到1級(jí)精度，5維子序列達(dá)到3級(jí)精度，其余子序列達(dá)到2級(jí)精度，2級(jí)精度由高到低順序?yàn)椋?維子序列最高，6維子序列，8維子序列和9維子序列次之，然后是10維子序列，最后是7維子序列；后驗(yàn)差比值方面，各子序列均達(dá)到了1級(jí)精度，精度由高到低順序?yàn)椋?維子序列，8維子序列，10維子序列，6維子序列，5維子序列，11維子序列，4維子序列，7維子序列；小誤差頻率方面，各子序列均達(dá)到了1級(jí)精度；擬合度檢驗(yàn)方面，15維子序列及4維子序列擬合程度不滿意，其余均滿意，滿足條件的子序列擬合程度由高到低順序?yàn)椋?維子序列，7維子序列，10維子序列,11維子序列，9維子序列，6維子序列和8維子序列，綜合以上比較，選擇8維子序列作為預(yù)測(cè)模型。

五、結(jié)論

本文先用傳統(tǒng)GM（1，1）模型對(duì)我國(guó)農(nóng)村人均純收入進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后采用變起點(diǎn)對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，建立一個(gè)預(yù)測(cè)模型群，從預(yù)測(cè)模型群中結(jié)合精度要求和擬合程度要求挑選了最優(yōu)的8維子序列作為預(yù)測(cè)模型，這種方法既提高了預(yù)測(cè)精度和擬合程度，又增強(qiáng)了預(yù)測(cè)的可操作性和實(shí)用性。

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