位似曲線與單參數(shù)曲線族

錢季偉

（長江工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，武漢 430212）

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，用內(nèi)角的相等或邊長的成比例來定義三角形或多邊形的相似，顯然這種方法不能推廣到曲線（形）上來，因此必須挖掘相似性的更本質(zhì)的內(nèi)涵，使之可以在更廣泛的場合下應(yīng)用于相似問題的討論。

1 若干定義

（1）位似變換。取定平面上一點(diǎn)O，稱為位似中心，規(guī)定點(diǎn)O在位似變換下的象即自己；平面上其他的點(diǎn)p在變換下的象p＇滿足：p＇在直線op上，＝k（≠0.1），k稱為位似比，p稱為p＇的原象。顯然象與原象的概念是對稱的，若以p＇為原象，點(diǎn)p為象，則位似比

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，位似變換可表示為：

圖1

（2）對平面上任意曲線F上所有的點(diǎn)作位似變換，所有的點(diǎn)的象組成曲線F＇，則稱F＇與線F是位似曲線。

（3）對于曲線G與G＇，若能通過平面上的等距（平移、旋轉(zhuǎn)與反射）變換，使之成為位似曲線，則稱G與G＇為相似曲線。

由以上定義可知：兩曲線是相似的，必須且只須它們是位似的；曲線的位似是曲線相似的本質(zhì)的表示形式，因此位似比也可稱為相似比。

2 引 理

以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，k為位似比，若曲線C1的方程為Φ（x，y）＝0，則曲線C2是C1的位似曲線的充分必要條件是：它的方程是（考慮到幾何圖形的清晰性，規(guī)定曲線與以位似中心為始點(diǎn)的射線最多相交于一點(diǎn)。）

證：對C1上所有的點(diǎn)P（x，y），作變換（1），即以代入 Φ（x，y）＝0，得到曲線Φ該曲線上的點(diǎn)P＇（x＇，y＇）是C1上的點(diǎn)P 的象，且，所以是C1的位似比為k的位似曲線。再把x＇，y＇改寫為x，y，就得到位似曲線的方程：

由此可知，具有方程（2）的曲線C2確是C1的位似曲線，這就證明了條件的充分性；因?yàn)閷τ诖_定的k，曲線C1的位似曲線是唯一的，所以方程（2）也是必要的。

例1：① 以p為參數(shù)的拋物線族y2＝2px（p＞0）中的任意兩拋物線y2＝2p1x，y2＝2p2x是位似曲線。

②任意兩拋物線是相似曲線（不論其解析式如何）。

② 對于任意兩拋物線C1與C2，我們總可以通過適當(dāng)?shù)牡染嘧儞Q，使它們的方程成為：

（確切地說，把C1、C2變換到頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以X軸為對稱抽，開口向右）此時，因?yàn)閽佄锞€y2＝2p1x，y2＝2p2x是位似曲線，根據(jù)定義，C1與C2是相似曲線。

3 定 義

若單參數(shù)的曲線族F（x，y，s）＝0中的任意兩曲線F（x，y，s1）＝0，F(xiàn)（x，y，s2）＝0是位似曲線，則稱F（x，y，s）＝0是位似曲線族。

由本例知道，以p為單參數(shù)的拋物線族y2＝2px是位似曲線族，但是并非所有單參數(shù)的曲線族都是位似曲線族，例如：橢圓族中的任意兩橢圓都不是位似曲線，實(shí)際上橢圓族中所有橢圓都相交于點(diǎn)（0，1）和（0，-1）兩點(diǎn)，所以它不是位似曲線族。

對于一個單參數(shù)曲線族f（x，y，s）＝0，如何判定它是位似曲線族，即它的任意兩曲線都是位似曲線，我們有如下的定理：

在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的坐標(biāo)系中，以s為參數(shù)的單參數(shù)曲線族f（x，y，s）＝0是位似曲線族的充分必要條件是：設(shè)f（x，y，s1）＝0，f（x，y，s2）＝0是曲線族中任意兩條曲線，若存在與s1，s2有關(guān)的常數(shù)k，使方程f（x，y，s2）＝0能等價地變換為方程

則該曲線族是位似曲線族。

根據(jù)引理，曲線f（x，y，s1）＝0，f（x，y，s2）＝0是位似曲線，又因?yàn)閟1，s2是任意的，所以，以s為參數(shù)的單參數(shù)曲線族f（x，y，s）＝0是位似曲線族。

4 相似（位似）曲線的性質(zhì)

雖然有各類不同的相似（位似）曲線，但是不同種類的相似（位似）曲線卻有著共同的性質(zhì)，例如相似（位似）比為k的兩相似（位似）曲線有以下性質(zhì)：

① 對應(yīng)弧段（對應(yīng)弦）的長度之比等于k；② 以對應(yīng)弧段為曲邊的曲邊三角形的面積之比等于k2；③對應(yīng)點(diǎn)的曲率之比等于

證：在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的坐標(biāo)系中，設(shè)曲線C1的方程為y＝φ（x），則根據(jù)引理，方程為的曲線C2是C1的位似曲線，C1上的點(diǎn)為原象，位似比為k（如圖2所示）。

圖2

設(shè)點(diǎn)P1和P2的x坐標(biāo)為x1和x2，則對應(yīng)的點(diǎn)（即其象）Q1和Q2的x坐標(biāo)是kx1和kx2，

于是弧段P1P2的長度

5 相似三角形（多邊形）的位似

回顧本文的開始，由于定義三角形（多邊形）的方法不能推廣到曲線的情況，于是引入位似變換，給出了曲線位似和相似的定義。顯然，這個推廣了的定義，應(yīng)該把三角形（多邊形）也包括進(jìn)去。下面給予驗(yàn)證。

圖3

如圖3，令A(yù)B‖A＇B＇，AC‖A＇C＇，BC‖B＇C＇。

證：① 若 P，P＇在AB，A＇B＇上，（或在 AC，A＇C＇上），則因?yàn)槿切蜲AP與三角形OA＇P＇相似，所以

② 若P，P＇在BC，B＇C＇上，則因?yàn)槿切蜲PD與三角形OP＇D＇相似，所以注意三角形ABD 與三角形A＇B＇D＇相似，所以于是

以上我們證明了相似三角形任意一組對應(yīng)邊上任意兩個對應(yīng)的點(diǎn)P，P′，存在所以點(diǎn)O是位似中心，相似的三角形也是位似形，相似比k就是位似比。

6 位似曲線方程不唯一

最后有必要作一點(diǎn)說明：以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心，一組（兩條）位似曲線可以因其與位似中心的不同位置關(guān)系而得到不同形式的方程，例如：對稱軸為x軸，開口向右的拋物線，以頂點(diǎn)為位似中心的方程為y2＝2pix（px＞0，i＝1，2），以焦點(diǎn)為位似中心的方程為