數學在兩部定價法模型中的應用

□文/白紅竹

（沈陽工業大學工程學院 遼寧·沈陽）

壟斷廠商為了榨取消費者剩余，除了價格歧視手段外，還可采取其他方法，而最常見的就是兩部定價法了。

兩部定價法也叫兩部收費法，是指消費者為了購買某種商品，必須先買“門票”，然后才能進門付款購買該商品。其中，門票價格稱為進入費或入場費，商品價格稱為使用費或享用費。比如，要想消費公園內設的娛樂項目，必須先買門票，取得進門權，然后才能入公園交費并消費娛樂項目。采用兩部定價法可以把進入費定的很高，使用費定的較低；也可以把進入費定的較低，使用費定的較高。兩部定價法在現代經濟生活中已得到了廣泛應用。

兩部定價法雖然沒有采取價格歧視，但目的仍然是要榨取消費者剩余。它把廠商的利潤分解成為兩部分:一部分是銷售產品而獲得的利潤，與這部分利潤相對應的產品價格是使用費；另一部分是搜刮消費者剩余而得到的利潤，與這部分利潤相聯系的價格成為進入費。廠商的目標是實現利潤最大化，也即廠商要規定一個最優的收費標準，使他的兩部分利潤之和達到最大。現在的問題是如何決定這個最優的收費標準。

（一）簡單情形。首先考慮市場上只有一個消費者的簡單情形。假定廠商知道消費者的需求曲線，即知道反需求函數為P=φ（Q），并要盡可能地榨取消費者剩余。此時，定價問題的解決是簡單的:讓使用費等于邊際成本，讓進入費等于消費者剩余。設根據 φ（Q）=MC（Q）確定的產量為Q*，則使用費為 P*=φ（Q*），進入費為 T=Surc（P，Q），（消費者剩余），并且這種定價完全榨取了消費者的全部剩余，因而是最好的價格方案。（圖1）

圖1

再考慮市場上只有兩個（兩類）不同消費者的情況。由于不實行價格歧視，廠商只能規定統一的進入費和使用費。假如廠商依然像單個消費者那樣把使用費規定為邊際成本，把進入費規定為需求較大的消費者的剩余，那么廠商就只能去賺具有較大需求的消費者的錢了。需求較小的消費者因進入費太高而不愿取得商品購買資格，從而被拒之門外。由于只把商品賣給一個消費者，廠商就不可能獲得最大利潤。最好的做法是，把使用費規定在高于邊際成本的某個水平上，然后把進入費規定為此使用費水平上的需求較小者的消費者剩余，這樣便可把商品賣給所有消費者，從而促進廠商最大利潤目標的實現。此時廠商的利潤為:

從搜刮消費者剩余得到的利潤為πc=2T*=2Surc2（P*，Q2）（即需求較小的消費者的消費者剩余的2倍）。廠商的利潤為:

當然，如果第二需求太低，為了讓他獲得購買價格而讓廠商損失的高需求消費者的剩余太多，以至于即使第二消費者購買產品也不能彌補廠商損失，那么進入費和使用費就會按照高需求消費者的需求曲線來決定，而不去考慮低需求消費者了。例如，若市場只存在一個消費者，其需求曲線是Q=24-P，則由P0=MC可知廠商的利潤為:

而加入第二個消費者之后，設第二個消費者的需求曲線為Q2=24-2P2，由于P0=MC；π=2T2=1/2×2（12×6）×12=72，當P1＞MC=2T2+（P-MC）（Q1+Q2）=2×1/2［（12-P）（24-2P）+（P-6）（48-3P）］=18P-P2，利潤最大的條件是dπ/dP=0，可以知道18-2P=0；P=9。

此時:

（二）復雜情形。通常情況是廠商面對各種各樣具有不同需求的消費者，而且沒有一種簡單公式能夠用于這種情況下的兩部定價。可以說，多種商品情況的兩部定價過程是一個嘗試和不斷修正的過程，降低進入費意味著進入者人數增多和銷售利潤增大。但是，當進入費太低以至于進入者人數太多時，就會導致進入費部分的利潤下降。因此，在進入費的確定上有一個進入者人數的優化問題。原則上講，開始時廠商可先規定一個使用費P0，再確定一個最優的進入費T0，然后估計由此可獲得的利潤π0；接下來改變使用費，使其變為P1，再計算相應的最優進入費T1，并估計由此確定的利潤π2；不斷這樣反復下去，就會得到一個使用費序列｛Pn｝和進入費序列｛Tn｝，它們的極限將是最優兩部價格（P*，T*）。下面對這種定價機制作一討論。

用A表示廠商面對的所有消費者之集合，每個屬于集合的消費者的需求函數為 Q=Da（P），反需求函數為 P=φa（Q）。用P表示使用費，T表示進入費，則消費者a在價格P下對壟斷廠商產品的需求量為Qa=Da（P）。用 A（T，P）表示在進入費 T 和使用費P下進入者的人數，則:

N（T，P）=A（T，P）集合 A（T，P）所含元素個數，則差部分商的利潤是N（T，P）T+（P－MC）a（p）

（三）創新。在不斷的創新中，不少企業已經對兩部定價法變化出了新花樣，這些新的形式也為企業汲取了更多的消費者剩余。

其一，免費贈送。是指消費者支付進入費后，便可從企業得到一定數量的免費服務或免費產品。例如，購買吉列剃須刀，支付了購買價格即進入費后，刀盒內會贈送幾個刀片（刀片價格即使用費）。這種免費贈送定價法讓企業獲得了更高的進入費收入，同時又沒有失去那么多的小消費者。小消費者不愿意支付使用費，因此收取較高的進入費，并贈送一定數量的免費商品或服務，方可獲得小消費者的剩余，而不會把他們趕出市場，同時還獲得了大消費者的更多剩余。

其二，產品傳銷。廠商首先發展若干個顧客，讓他們成為傳銷廠商產品的第一級成員。作為產品傳銷成員，必須向廠商支付一定的成員費，取得成員資格，并要發展若干個新成員（即下一級成員）和推銷廠商的產品。廠商根據成員在發展新成員和推銷產品中所取得的成績，對成員實行獎勵。但是這種方式卻發展成為了喪失良知的行為，給社會、個人都造成了極大的危害。我們要健康發展經濟，堅決杜絕這種不良現象的出現。

[1]趙本東.價格含義之我見[J].中外企業家，2005.9.

[2]劉炳瑛.論價值規律[J].理論視野，1998.5.