函數(shù)思想在高等數(shù)學中的簡單應(yīng)用

卜愛英

（徐州技師學院基礎(chǔ)部，江蘇徐州 221151）

函數(shù)思想在高等數(shù)學中的簡單應(yīng)用

卜愛英

（徐州技師學院基礎(chǔ)部，江蘇徐州 221151）

高等數(shù)學是一種變量數(shù)學，這種變量數(shù)學主要體現(xiàn)在對函數(shù)的教學上，函數(shù)教學中又主要體現(xiàn)在函數(shù)思想的應(yīng)用上，如何利用函數(shù)思想解決問題是高等數(shù)學的一項重要內(nèi)容，利用函數(shù)思想進行建模解決常見的一些問題，如不等式的證明、近似計算、方程的解的問題、恒等式的證明等。

函數(shù)思想；數(shù)學建模；單調(diào)性；凹凸性；證明

函數(shù)思想，是數(shù)學中一個重要的思想，是數(shù)學知識達到一定境界后的數(shù)學應(yīng)用能力的體現(xiàn)，在小學時期，對于數(shù)學，只是了解數(shù)量的大小，及數(shù)量之間的加、減、乘、除等等。小學后期及中學就形成了兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過式子、圖形、表格來研究兩個量之間的關(guān)系和性質(zhì)，高中及大學以后是對這種關(guān)系的進一步演化，進而利用這種關(guān)系來解決一些問題，使數(shù)學這門工具，達到它應(yīng)有的作用。所謂函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。所以函數(shù)思想體現(xiàn)了解決數(shù)學問題的一種解題策略。具體來說，函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題。經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、凹凸性、連續(xù)性、可微性、奇偶性、周期性、最大值和最小值等性質(zhì)。初等數(shù)學是一種常量數(shù)學，高等數(shù)學是一種變量數(shù)學，因此，高等數(shù)學中利用函數(shù)思想解決問題是一種比較重要的常見的方法。下面就高等數(shù)學中如何利用函數(shù)思想來構(gòu)造函數(shù)解決問題的一些方法來介紹一些，望能對大家的學習有所幫助。

一、利用函數(shù)思想證明一些不等式

不等式的證明是數(shù)學中一種常見的題型，它的證明方法多種多樣，根據(jù)題目的不同，證法也千差萬別，下面我們舉例簡單說明一下。

1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一。一旦我們弄清了一個函數(shù)的單調(diào)性，就能刻畫出這個函數(shù)圖形的基本形狀，以及這個函數(shù)變化的基本狀況。高中時判定函數(shù)的單調(diào)性，是利用作差法，高等數(shù)學中是利用導數(shù)來判定，其判定定理如下：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導，且導數(shù)在（a，b）的任一子區(qū)間內(nèi)不恒等于零，則

（1）f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)增加的充分必要條件是f′（x）0；

（2）f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)減少的充分必要條件是f′（x）!0。

例1 證明：當x＞0時，x＞ln（1＋x）

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝x－ln（1＋x）

所以當x＞0時f（x）是單調(diào)增加的函數(shù)

（4）求端點處函數(shù)值，利用單調(diào)性的性質(zhì)指明不等式成立：

因為f（0）＝0，所以當x＞0時f（x）＞f（0）＝0

即x－ln（1＋x）＞0，得當x＞0時，x＞ln（1＋x），不等式成立。

2.利用凹凸性證明不等式

所謂凹凸性是指函數(shù)曲線的彎曲方向，有上凹有下凹，同樣是上升曲線，有可能彎曲方向不同，要想對函數(shù)曲線描述更精確，不僅要了解函數(shù)的增減性，還要掌握函數(shù)的凹凸性，凹凸性的定義是：

設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，如果對（a，b）內(nèi)任意兩點x1，x2恒有

凹凸性的判定定理：

若函數(shù)f（x）在［a，b］內(nèi)連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有二階導數(shù)，那么

①若在（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的；

②若在（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝xn

（2）說明凹凸性：f′（x）＝nxn－1，f″（x）＝n（n－1）xn－2

在［a，b］內(nèi)，f″（x）＞0，所以函數(shù)f（x）是凹的，

（3）利用凹凸性的定義得出結(jié)論：

3.利用中值定理證明不等式

中值定理所研究的問題是：在一定條件下，函數(shù)在端點處的函數(shù)值與它在區(qū)間內(nèi)部某處導數(shù)值之間的關(guān)系，在這些中值定理中，拉格朗日中值定理是最重要的，在微積分學中起的作用最大。

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）在a，

例3 證明：設(shè)a＞b＞0，n＞1，則nbn－1（a－b）＜an－bn＜nan－1（a－b）

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝xn

（2）說明滿足拉格朗日中值定理：函數(shù)f（x）在［b，a］內(nèi)連續(xù)，在（b，a）內(nèi)有可導，

當a＞b＞0，n＞1時，nbn－1＜nξn－1＜nan－1

即nbn－1（a－b）＜f（a）－f（b）＜nan－1（a－b）

即nbn－1（a－b）＜an－bn＜nan－1（a－b）成立。

4.利用求最值的方法證明不等式

例4 證明：當－1!x!4時，－5!2x3－3x2!80

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝2x3－3x2

（2）求導：f′（x）＝6x2－6x

（3）求駐點：令f′（x）＝6x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝1

（4）求函數(shù)值：f（－1）＝－5，f（0）＝0，f（1）＝－1，f（4）＝80

（5）比較得最值：最小值為－5，最大值為80。

（6）得結(jié)論：當－1≤x≤4時，－5≤2x3－3x2≤80

二、利用函數(shù)思想進行近似計算

1.一元函數(shù)近似計算公式：

f（x0＋Δx）≈f（x0）＋f′（x0）Δx，當｜Δx｜很小時

例5 求arctan1.02的近似值

解：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝arctanx

（2）取適當?shù)膞0及Δx：x0＝1，Δx＝0.02

（3）利用近似計算公式計算：

f（1.02）≈f（1）＋f′（1）×0.02

即：arctan1.02≈0.795

2.二元函數(shù)近似計算公式：f（x0＋Δx，y0＋Δy）≈f（x0，y0）＋f′x（x0，y0）Δx＋f′y（x0，y0）Δy，當｜Δx｜、｜Δy｜很小時

（2）取適當?shù)膞0，y0及Δx，Δy：

x0＝2，Δx＝0.02，y0＝2，Δy＝－0.03

（3）利用近似計算公式計算：

三、利用函數(shù)思想證明方程的解的存在性或唯一性

證明方程解的存在性或唯一性要說明三點：

①連續(xù)②異號③單調(diào)

例7 證明：方程x3＋x＝1在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一實根。

證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝x3＋x－1

（2）說明函數(shù)滿足三個性質(zhì)：

①顯然函數(shù)f（x）在0，

［1］內(nèi)連續(xù)；

②f（0）＝－1＜0，f（1）＝1＞0，異號；

③f′（x）＝3x2＋1＞0，則f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)增加。

（3）由根的存在定理得結(jié)論：

存在唯一一點ξ∈（0，1）有f（ξ）＝0，

即方程x3＋x＝1在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一實根。

四、利用函數(shù)思想證明恒等式

例8 證明：arcsinx＋arccosx＝π2，x∈（－1，1）證明：（1）構(gòu)造函數(shù)：f（x）＝arcsinx＋arccosx

所以f′（x）在（－1，1）上恒為零，

由定理知f（x）在（－1，1）上恒為常數(shù)，

綜上所述，函數(shù)思想是一種比較重要的思想，函數(shù)思想方法的應(yīng)用就是根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系式，從而使問題獲得解決。因此，在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想解決問題的關(guān)鍵。函數(shù)思想來源于日常生活，又要服務(wù)于日常生活。因此，對于函數(shù)的學習，應(yīng)該把體會、感受和運用函數(shù)解決實際問題有機地結(jié)合起來，可以經(jīng)常在教學中滲透數(shù)學建模的思想，讓學生感受到數(shù)學的重要性，做到學以致用。

G420

A

1671-8275（2012）01-0134-02

2011-10-24

卜愛英（1969-），女，江蘇徐州人，徐州技師學院基礎(chǔ)部講師。

華 東