例析教師如何提高學生的創新能力
——基于李善蘭“圖解法”的形成過程

朱小東

(西南大學數學與統計學院，重慶 400715)

例析教師如何提高學生的創新能力
——基于李善蘭“圖解法”的形成過程

朱小東

(西南大學數學與統計學院，重慶 400715)

李善蘭的《火器真訣》是我國第一部精密科學意義上的彈道學著作，他提出的圖解法成為我國數學研究的一個新的環節。李善蘭“圖解法”的產生具有濃厚的創新思維，在“圖解法”形成過程中，李善蘭敢于向傳統挑戰，大膽創新，通過刻苦鉆研，提出了別具一格的新方法。為此，對其進行分析，不難發現許多因素造就了李善蘭創新的成功，對這些因素加以提煉，進而指導在新課程目標下的教育教學工作，就能不斷提高學生的創新能力。

“圖解法”;創新能力;數學化;生活化

出于偶然，在我從事教育工作期間，當時監考高二的期末考試，看見語文試卷上有一題涉及數學大家李善蘭在1859年寫成的《火器真訣》，該文表現了李善蘭別具一格的“圖解法”彈道學［1］176，在當時具有濃厚的創新思維能力。圖解法就是用線段(或其他圖形)把題目中的條件和問題明確地表示出來，有些題目提供的條件比較隱蔽，如果只憑文字和想象去分析它們之間的關系，非常吃力，用圖解法可以把問題的內容具體化、形象化，便于我們理解題意，明確數量關系，理清解題思路，進而很快地得出解法。剛好四川也在施行數學新課程改革，在新課改中明確提出:培養學生的創新意識和實踐能力要成為數學教學的一個重要目標和一條基本原則。數學教學應對創新意識的培養加以重視和提高。為此，就李善蘭“圖解法”創新成功的因素，結合工作中的一些思考，談談教師可以從哪些方面去提高學生的創新能力。

一、李善蘭簡介

李善蘭(1811—1882)，原名心蘭，字竟芳，號秋紉，別號壬叔，浙江省海寧縣硤石鎮人。清代著名的數學家、天文學家、翻譯家和教育家。李善蘭寫成《方圓闡幽》《弧矢啟秘》《對數探源》等數學著作和研究歷法的《麟德術解》。1852年起，李善蘭到上海墨海書館，期間與英國人偉烈亞力、艾約瑟等合作進行翻譯，外國人口述，他作筆錄，譯出刊行的著作有《幾何原本》后九卷、《植物學》八卷、《代微積拾級》十八卷、《代數學》十三卷、《談天》十八卷、《重學》二十卷、《圓錐曲線說》三卷等。這些工作把西方的代數學、解析幾何、微積分、植物學、天文學和力學知識首次介紹到中國，促進了近代科學在中國的傳播。繼明末徐光啟、利瑪竇合譯《幾何原本》前六卷之后，開辟了近代研究并發展自然科學的新時期。19世紀60年代，李善蘭投身于“自強運動”官僚集團，積極參與洋務新政的學術活動，試圖以此實現其科學救國的理想，并受到曾國藩的器重，在曾的支持下，他的《則古昔齋算學》一書1864年付刻，1867年告成，該書是代表了當時中國傳統數學最高水平的天算著作，推動了近代數學在中國的廣泛傳播［1］174－175。

二、李善蘭的“圖解法”

李善蘭的《火器真訣》是我國第一部精密科學意義上的彈道學著作，他提出的圖解法成為我國數學研究的一個新的環節，并啟迪了后來的數學家對拋物線本身數學理論問題和對射擊命中實際問題進行深入的研究［2］，關于圖解法的產生過程，李善蘭在《火器真訣·序》陳敘道:“凡槍砲鉛子，皆行拋物線，推算甚繁，見余所譯《重學》中，欲求簡便之術，久未能得，冬夜少睡，復于枕上反覆思維，忽悟可以平圓通之，因演為若干款，依款量算，命中不難矣。”［3］

這一描述正是李善蘭對拋物線命中問題創新過程的勾畫，數學本身就是一種創造性思維活動，現在我們就來分析李善蘭創新得以產生、發展，以至于最終能取得成功的重要因素。從“凡槍砲鉛子，皆行拋物線，推算甚繁，見余所譯《重學》中”可以看到李善蘭具有豐富的知識，不僅在數學方面，在物理方面也有很高的才華，正因為有了豐厚的知識、深刻的洞察力，才敢于向傳統、權威挑戰，大膽猜測，從而“欲求簡便之術”。但成功的取得永遠是一個艱苦探索的過程，為此李善蘭“久未能得，冬夜少睡，復于枕上反覆思維”，表現了他刻苦鉆研、勇于追求的科學態度，真是功夫不負有心人，通過李善蘭細心、耐心、專心的思考，終于“忽悟可以平圓通之”，其中“可以平圓通之”就是“圖解法”或“以量代算”。可見，創新意識的產生、發展，以及創新的最終實現，都有很多主觀因素和客觀因素的制約，成功屬于有準備的頭腦，了解這些因素，可以提高教育工作者的教育觀念，進而為我們在新形勢下培養更多創新意識的人才。這也正是在新課程改革理念下教育工作者必須面臨和解決的問題。

三、教師如何提高學生的創新能力

中國古代數學領域類似的創新很多，從劉徽“以闡世術之美，輒造重差”、李冶“爆然”《測圓海鏡》、秦九韶“夢寐”《治歷演紀》、梅文鼎“忽觸”《方程論》到李善蘭的“忽悟”平圓通之，均表現了一些創新的相同因素［4］，結合教學實例，仔細考察這些創新的基本過程，教師可以從五個方面入手去提高學生的創新能力。

(一)讓生活問題數學化

創設生活情境，讓學生了解現實生活中處處有數學，幫助學生用數學策略解決生活中遇到的實際問題。充分挖掘教學知識點，彰顯課程理念，展示生活中數學的趣味性和奇異美，從而激發學生的創新思維能力，李善蘭的“圖解法”便是讓生活問題數學化的一個典型例子。

比如，生活中不小心把一塊三角形玻璃打成如圖1的兩塊，如果要到玻璃店里去重新配一塊，要不要兩塊都帶去?這一問題來源于生活，可能會立即引起學生的強烈興趣，紛紛討論，教師可以在討論中提示:可以只帶一塊去，這一問題再次引起了學生興趣和思考。可能有的學生會說帶去Ⅰ，有的會說帶去Ⅱ，老師可以繼續提示:一個三角形有幾個元素?兩塊玻璃各含有三角形哪幾個元素?這樣一個生活中的實際問題便可以揭示全等三角形的判斷本質。

圖1 一塊三角形玻璃被打成兩塊

(二)讓數學問題生活化

我們在教學過程中，不僅要做到生活問題數學化，也要做到數學問題生活化，創設應用情景，當學生所要解決的問題與其生活息息相關時，學生對問題便有了濃厚的親切感，會使他們對問題的解決產生一種必要感，李善蘭的“圖解法”正是因為有了實際生活背景，有了傳統方法的煩瑣，才會思考解決問題的新途徑、新方法。因此，對于問題的提出不能是純粹數學化的“已知、求證、證明”模式，教師要善于精選一些實際生活問題，使“乏味”的數學試題變得富有真情和活力，流露出溫暖的人文氣息。這樣就把數學創設成活生生的實際問題，體現出一種數學的需要，讓學生感受到數學問題的生活化，便于創新能力的產生。

如“線段垂直平分線”新課導入中可以把它設計成“A、B兩村要在公路旁合建一娛樂場所，要使到兩村的距離相等，假如你是設計者，應該怎樣設計?”同學們聽后踴躍發言，但可能又拿不出可行的方案。教師因此可以導入課堂內容說，我們只要學好了“線段垂直平分線”的知識，就可以圓滿地解決這個問題了，引導學生分析得出此問題就是線段AB的垂直平分線與公路的交點，然而不像過去那樣直接給出線段AB求作“一點使它到線段兩端點的距離相等”。

(三)拓寬知識領域，為創新思維準備必要條件

萬丈高樓平地起，沒有牢固的基礎，必然沒有創新。李善蘭正因為有了廣泛、扎實的基礎，才造就了他最終創新的成功。因此，學生只有具備了豐富的知識，才能發現多種知識之間的內在聯系，觸發聯想，產生遷移和聯結，形成新的觀點和認識，進而為創新思維打下必要的基礎。我在課堂教學中也特別注重學生的基礎知識。比如，在講“因式分解”中的“分組分解法”時，我要求每一位學生必須熟練掌握“提取公因式法”和“公式法”，否則分組分解法無法進行下去。我在學生能夠熟練運用“加減法”、“代入法”解二元一次方程組時，讓學生大膽嘗試三元一次方程組甚至更多元方程組的解法。這樣有利于理清知識之間縱橫聯系脈絡，形成系統的知識體系，為創新思維創造必要條件。

(四)注重培養學生獨立思考的品格

獨立思考是創新思維者的重要品格之一，任何一個新理論、新發明，無不是思考者長期獨立思考的結晶，一個從眾心理極強、人云亦云的人，怎能會有獨創性呢?李善蘭的“久未能得，冬夜少睡，于枕上反覆思維”不正是獨立思考的真實體現嗎?因此，在教學中，應多鼓勵學生動腦筋，獨立思考，不要“不會就問”，應當“不會就思考”，思考不出來再問。這樣便能養成學生獨立思考的習慣，提高思維水平，使認識不斷深刻。

但獨立思考并不排除合作交流，合作交流也能促進獨立思考的發展，隨著社會的不斷發展，知識信息成幾何級數增長，個人的精力是有限的，獨立思考的結論難免具有片面性，如果多人的觀點能互相交流，那么每個人得到的，將不僅是多個觀點的簡單相加，而是多個觀點構成的更高思維空間。因此，在教學中，應組織分組討論、集體討論、相互幫助、相互學習等活動。

(五)加強學生猜測思維的訓練

在教學過程中，加強猜測思維的訓練，是提高創新思維的一種有效手段。我想如果李善蘭沒有“欲求簡便之術”，大膽猜測，提出新問題，恐怕也很難完成“圖解法”。因此，教學中教師可以通過類比、歸納、想象、逆向思維等形式訓練學生的猜測能力。例如，給定學生一組數列，讓他們通過主動探索寫出通式;或者讓他們觀察圖形，找出特點，預想變化結果;或者根據一組數據，估計事件發生的可能性;或者通過數學實踐活動，歸納一般規律，等等。猜測思維訓練，可以調動學生學習的內在動力，激發他們的學習熱情，引導他們的學習興趣，使他們的智商得到充分的發揮，進而產生創造性思維。

四、結束語

教育的生命在于創新，創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力，發展創新思維是目前課程改革的熱點，在教學中，以教師為主導，以學生為主體，著力培養學生創新思維能力，應視為數學教學的生命線。尤其是在大力提倡素質教育的今天，每位數學老師更應該有目的、有計劃地激發學生的大膽創新，不斷拓寬學生的知識面，給學生提供更多的創造機會，促使學生的創新思維能力形成。探索更多切實有效的方法途徑來指導我們的教學活動，值得每位教育工作者深思。

［1］李文銘．數學史簡明教程［M］．西安:陜西師范大學出版社，2008．

［2］王渝生．李善蘭研究［M］//梅榮照．明清數學史論文集．南京:江蘇教育出版社，1990．

［3］李善蘭．火器真訣:第一卷［M］．(清同治)古昔齋，1858．

［4］佟健華．由李善蘭獨創“圖解法”談創新思維的內涵［J］．中小學數學:初中版，2008(3):1．

(責任編輯 周江川)

G642

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1007－7111(2012)04－0037－03

2012－01－25

朱小東(1986—)，男，碩士，研究方向:數學教育。