海森堡不確定性原理的教學研究

謝 勇

（大理學院工程學院，云南 大理 671003）

海森堡不確定性原理的教學研究

謝 勇

（大理學院工程學院，云南 大理 671003）

海森堡不確定性原理在量子力學的教學中占有很重要的地位.通過概念引入，實驗分析，理論證明以及量子力學例證，介紹了一種海森堡不確定性原理的教學模式.

海森堡不確定性原理；教學；量子力學

海森堡不確定性原理(Heisenberg uncertainty principle)是由德國物理學家海森堡于1927年提出的量子力學中的不確定性，具體指在一個量子力學系統(tǒng)中，一個粒子的位置和它的動量不可被同時確定[1].由于海森堡不確定性原理與經典物理的觀念是截然不同的，在教學上有一定的難度.本文將對海森堡不確定性原理的教學引入、理論證明，以及例證進行研究討論.

1 海森堡不確定性原理的教學引入

1.1 概念的引入

量子力學所討論的波是一種概率波.根據(jù)de Broglie關系，與一個單色平面波（波長為?，頻率為n）對應的粒子的動量.如果用表示粒子的動量分布函數(shù)，則可以由Fourier展開得到[2]，

1.2 實驗分析

微觀粒子的位置與坐標的不確定性原理可以通過物質波的單縫衍射實驗來加以說明.如圖1所示，設單縫的寬度為，物質波（如電子波）的波長為?，從衍射強度的中心極大到第一極小的夾角為?，則根據(jù)單縫衍射公式[2]

圖1 物質波的單縫衍射

粒子在穿過狹縫之前是沿x方向運動的，即粒子動量的豎直分量為零.由于微觀粒子的波粒二象性，當粒子穿過狹縫以后，其動量的豎直分量 將發(fā)生改變. 的大可通過粒子抵達探測屏的位置計算出來.如圖1所示， 的不確性 大約

由于?很小，所以結合（3）式，得

當粒子穿過狹縫時，粒子位置的不確定性 顯然就是狹縫的寬度，

于是，有

根據(jù)德布羅意的物質波假說[3]，

式中h為普朗克常數(shù)，故有

這就是海森堡不確定性原理的實驗估算.

2 海森堡不確定性原的理論證明

對海森堡不確定性原理的理論證明有很多方法[3-5]，在實際教學中，我們主要參照文獻[5]提供的方法.這種方法簡潔易懂，學生很容易接受.

根據(jù)方差的定義，某一厄米算符 的方差為

得

而

以上的推導用到了算符的厄米性和波函數(shù)的歸一性.同理可得，

于是，

所以，

由于標準差為非負數(shù)，所以

這就是海森堡提出的坐標與動量的不確定性原理的數(shù)學形式.

3 海森堡不確定性原理的量子力學例證

海森堡不確定性原理適用于所有微觀粒子的量子行為.教學中，通過粒子的坐標表象及動量表象波函數(shù)來驗證不確定性原理，對于學生理解微觀粒子的波粒二象性和不確定性原理有很好的幫助.例如對于一維諧振子，其基態(tài)波函數(shù)為[3]，

可以用解析法來驗證不確定性原理，但計算較為繁瑣.教學中，我們主要使用升降算符來進行驗證.利用一維諧振子升降算符的定義和遞推公式[5]：

及

有

由正交歸一條件[3]

得

同理，

對于坐標的方均值，

同理得動量的方均值，

將上述結果代入坐標與動量的方差公式：

得

和

于是

故有

由于量子數(shù)n的取值是0, 1, 2, …，所以

此結果與（15）式完全相符.

4 討論

海森堡不確定性原理貫穿于量子力學的整個教學中.我們首先通過坐標與動量的Fourier變換，從概念上引入了坐標與動量不能同時被準確確定的性質，然后通過物質波的單縫衍射實驗，估算出這種不確定性的數(shù)量級.在介紹算符的運算規(guī)則的時候，我們利用西瓦茨不等式嚴格證明了海森堡不確定性原理.隨后的教學討論中，我們要求學生根據(jù)所學知識，在課堂上對海森堡不確定性原理進行驗證，例如本文介紹的一維諧振子的例證.這樣的教學安排可以使學生對微觀粒子的波粒二象性有更深刻的理解.

[1]W.Heisenberg. über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik[J]. Physics,1927,43(3-4):172-198.

[2]馬文蔚等.物理學教程:第二版[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]曾謹言.量子力學教程:第二版[M].北京:科學出版社,2008.

[4]綽英超.廣義Heisenberg不確定關[J].大學物理,1997(2):31-33.

[5]David J.Griffiths.Introduction to Quantum Mechanics[M].Benjamin Cummings;2 edition (2004).

Research on Teaching Heisenberg Uncertainty Principle

XIE Yong

(College of Engineering, Dali University, Dali 671003, China)

Heisenberg uncertainty principle is very important in quantum mechanics. This paper introduces a teaching mode for Heisenberg uncertainty principle through importing concept, experiment analyzing, theoretically prove, and example illustration.

Heisenberg uncertainty principle; teaching; quantum mechanics

O413.1

A

1008-9128（2012）04-0008-03

2012-03-28

中德科學基金項目（GZ585）

謝勇，副教授.研究方向：理論物理和生物醫(yī)學工程學的教學與研究.

[責任編輯 張燦邦]