數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義

　　數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其實質(zhì)是通過數(shù)與形的對應(yīng)及相互轉(zhuǎn)換，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，可以使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。在引進新知、建構(gòu)概念、解決問題時，適當?shù)匕盐蘸脭?shù)形結(jié)合的度，還能激發(fā)學(xué)生的興趣，發(fā)展學(xué)生的想象力，提升學(xué)生的思維能力。
　　一、 數(shù)形結(jié)合，化抽象概念為具體形象
　　心理學(xué)研究表明：小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡；由具體運算為主，逐步向形式運算過渡，這是一個緩慢的、漸進的發(fā)展過程。而小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念大多具有簡潔、抽象的特點，為了使學(xué)生準確地理解數(shù)學(xué)概念，需要教師充分利用直觀教學(xué)，借助數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生去觀察比較，化抽象為具體形象。
　　例如，在教學(xué)“10以內(nèi)的數(shù)”時，通過數(shù)一數(shù)實物有幾個，逐步建立起“幾個物體”與“數(shù)字幾”之間的關(guān)系，使學(xué)生頭腦里形成數(shù)的表象，再逐步過渡到抽象的數(shù)的概念。在教學(xué)“十幾”時，通過擺小棒認識到“1捆加幾根”就是“十幾”，并能逐步形成表象，最后幫助學(xué)生抽象出“1個十和幾個一合起來是十幾”的概念。認識“分數(shù)”時，借助直觀操作與對比分析，理解“把一個物體平均分成幾份，其中的一份或幾份就是幾分之一或幾分之幾”。在數(shù)的概念的教學(xué)中，通過化數(shù)為形的方法，使抽象的數(shù)變得更直觀、更豐富，便于學(xué)生把握其實質(zhì)。在推導(dǎo)有關(guān)數(shù)學(xué)公式的過程中，借助圖形可以充分理解公式的含義，使公式形象化、直觀化。如計算“長方形的周長”可以有幾種不同的方法：長+寬+長+寬；長×2+寬×2；（長+寬）×2。相對于前兩種方法，學(xué)生在理解第三種方法時有些困難。教學(xué)時通過擺一擺、畫一畫、分一分等方法幫助學(xué)生理解“長+寬”指的是哪兩條線段的長？再理解“×2”得出的又是什么？通過具體演示與比較概括，學(xué)生理解了第三種計算周長的方法，并能正確運用。在圖形面積、體積等計算公式推導(dǎo)的過程中，無一不需要借助直觀形象化的操作與演示，讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知→表象形成→抽象概括”的學(xué)習(xí)過程。
　　二、 數(shù)形結(jié)合，融通算理與算法
　　在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，大量的內(nèi)容是計算問題，學(xué)生計算能力的強弱在一定程度影響了小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量。在教學(xué)中首先要引導(dǎo)學(xué)生理解算理，形成算法。算理就是計算的道理，唯有對計算的道理明白清晰，方能正確建構(gòu)算法，并能熟練計算。因此，教學(xué)時教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的方法理解算理，并在理解算理的基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生概括、形成算法，使學(xué)生“知其然，更知其所以然”。
　　例如，教學(xué)“3+2=5”時，通過直觀形象的動態(tài)演示，使學(xué)生明白“把3個人和2個人合起來是5個人”，知道“合起來”可以用加法計算。對于一些學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，擺小棒、數(shù)實物等方法有利于他們獲得對加法意義的理解，并能逐漸建構(gòu)正確算法。當然，算法的形成需要經(jīng)歷“直觀形象→表象中介→抽象概括”的過程。又如，學(xué)習(xí)分數(shù)加減法時，學(xué)生借助直觀形象的長方形圖分一分、涂一涂，理解“3個1/8加上2個1/8是5個1/8”的本質(zhì)內(nèi)涵，繼而發(fā)現(xiàn)同分母分數(shù)加法的計算方法。像這樣，把抽象的算式及時形象化，學(xué)生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加深刻地感悟算理、形成算法，真正理解運算的意義。
　　三、 數(shù)形結(jié)合，理清數(shù)量之間的邏輯關(guān)系
　　教材依據(jù)算用結(jié)合的原則，結(jié)合計算教學(xué)編排了大量的實際問題，正確解決實際問題的關(guān)鍵是理解數(shù)量關(guān)系。對于小學(xué)生來說，借助于數(shù)形結(jié)合的方式，能將一些抽象或隱蔽的數(shù)量關(guān)系變得更具體、直觀，使復(fù)雜的問題簡單化。同時，豐富的轉(zhuǎn)化過程也能調(diào)動學(xué)生主動積極地參與學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的思維能力。
　　例如，“連乘實際問題”：“桃樹有48棵，梨樹的棵數(shù)是桃數(shù)的3倍，蘋果樹的棵數(shù)是梨樹的2倍。蘋果樹有多少棵？”題中涉及三種樹的棵數(shù)，三種數(shù)量之間的相互關(guān)系較為復(fù)雜。借助線段圖可以直觀地表示數(shù)量之間的關(guān)系：
　　從圖中學(xué)生可以清楚地找出三種樹之間的關(guān)系：桃樹的棵數(shù)×3=梨樹的棵數(shù)，梨樹的棵數(shù)×2=蘋果樹的棵數(shù)。同時，一部分學(xué)有余力的學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)蘋果樹與桃樹之間的倍數(shù)關(guān)系：3×2=6，即把蘋果樹的每一份又平均分成3份，這樣就把“蘋果樹的棵數(shù)”轉(zhuǎn)化成“桃樹的6倍”。中間數(shù)量“梨樹的棵數(shù)”起到了橋梁中介的作用。通過這樣的直觀圖示，學(xué)生清晰地理解了蘋果樹和桃樹之間的倍數(shù)關(guān)系，也為學(xué)生解答兩步連乘的實際問題拓寬了思路。
　　又如，“小明看一本書，第一天看了全書的一半，第二天看了剩下的一半，還剩30頁。這本書有多少頁？”對于二、三年級的學(xué)生來說，這里的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，對兩次“一半”的意義理解是解題的關(guān)鍵。因此，可以借助圖形或線段圖幫助理解：把整本書看成一個整體，第一天、第二天看的頁數(shù)可以清晰地在圖上表示出來（如圖2）。
　　從圖中可以看出，第二天看的和剩下的30頁是一樣多的，2個30頁相加的和又和第一天看的頁數(shù)是同樣多的，所以整本書的頁數(shù)是：30×2=60（頁），60×2=120（頁）；或者30×4=120（頁）。正因為有了直觀圖示的輔助，使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得清晰簡單，便于學(xué)生分析與解答。借助圖形或線段圖的方法在和差、和倍、盈虧、找規(guī)律等問題中也能得到廣泛的應(yīng)用。
　　四、 數(shù)形結(jié)合，滲透初步的函數(shù)思想
　　在小學(xué)階段滲透的函數(shù)思想方法主要是使學(xué)生通過具體事例與直觀形象發(fā)現(xiàn)一切事物都是在不斷變化著，同時也是相互聯(lián)系與相互制約的，從中能發(fā)現(xiàn)事物的變化趨勢和運動的規(guī)律，也能為中學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)奠定良好的基礎(chǔ)。
　　例如，“確定位置”中，讓學(xué)生用數(shù)對表示平面圖形中點的位置，同時也能根據(jù)數(shù)對確定點在平面圖中的位置。根據(jù)平面圖形中點的位置形象地尋找各點之間的關(guān)系，并在點的平移、變化中發(fā)現(xiàn)數(shù)對的變化。在點與數(shù)對的對應(yīng)或變化中，學(xué)生能更清楚地理解數(shù)與形的意義。
　　又如，在教學(xué)“正比例”時，教師不僅利用統(tǒng)計表來研究數(shù)量之間所體現(xiàn)的規(guī)律，還利用動態(tài)的方式將函數(shù)圖像形成的過程展示出來，借助圖像來研究正比例函數(shù)。
　　一輛汽車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表。
　　從統(tǒng)計表中學(xué)生能初步體會到“隨著時間的變化，路程也在變化，但速度保持不變”；從直角坐標圖中也可以發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，并能從這條直線中發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律。在正比例函數(shù)圖像的形成過程中，學(xué)生不僅能感受到數(shù)據(jù)之間的一一對應(yīng)和連續(xù)性，在“正比例的關(guān)系式”與坐標圖中的“一條直線”之間建立起聯(lián)系，而且還能在動態(tài)的過程中形成了對正比例函數(shù)直觀的認識，更好地幫助學(xué)生把握數(shù)量間的變化規(guī)律，使學(xué)生由具體形象的靜態(tài)認識提高到在運動、變化中去概括，形成正確的表象信息，真正深化對正比例意義的理解。
　　“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的，在研究“數(shù)”的時候，往往會借助于“形”的直觀，在探索“形”的特征時，往往又會聯(lián)系“數(shù)”的簡潔。教師要從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，有目的、有計劃地滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，使學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想，并使之成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的工具，切實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素