基于概念學(xué)習(xí)，超越概念認(rèn)知

　　近日，因執(zhí)教北師大版教材《周長(zhǎng)》一課，故對(duì)此內(nèi)容有了較為深入的思考。《周長(zhǎng)》一課，北師大版教材安排在三年級(jí)上冊(cè)。在學(xué)習(xí)此內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一些基本立體圖形，初步了解了平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系，知道了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等一些平面圖形的基本特征，并已習(xí)得了一定的測(cè)量線段長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)。筆者主要圍繞以下三個(gè)層面進(jìn)行分析與思考。
　　一、 “周長(zhǎng)”到底是什么？學(xué)生已具有怎樣的“周長(zhǎng)”前概念？
　　關(guān)于“周長(zhǎng)”的概念，教材是這樣定義的：“圖形一周的長(zhǎng)度，就是圖形的周長(zhǎng)。”簡(jiǎn)單的一句話，兩個(gè)關(guān)鍵詞：“一周”和“長(zhǎng)度”，其實(shí)表明了周長(zhǎng)的“一緯”特質(zhì)和“長(zhǎng)度”屬性。那么，對(duì)于學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容前的學(xué)生而言，“周長(zhǎng)”又具有怎樣的前概念呢？筆者對(duì)兩個(gè)班102名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。
　　調(diào)查分為兩個(gè)部分。第一部分，以“你聽(tīng)說(shuō)過(guò)周長(zhǎng)嗎？”為題，了解學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”這一數(shù)學(xué)概念的知曉情況。結(jié)果答“聽(tīng)說(shuō)過(guò)”的學(xué)生有11人，占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的10.8%；“沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)”的學(xué)生近九成。又對(duì)“聽(tīng)說(shuō)過(guò)”的學(xué)生進(jìn)行訪談后了解到，9人為爸爸媽媽教過(guò)，2人為看書(shū)知道。
　　調(diào)查的第二部分，嘗試完成任務(wù)（沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)的，則憑自己的理解去猜一猜）：下面的圖形有沒(méi)有周長(zhǎng)？如果有，請(qǐng)你用彩色筆描出它的周長(zhǎng)在哪里？
　　調(diào)查結(jié)果：
　　1.“聽(tīng)說(shuō)過(guò)”的11人中，認(rèn)為2號(hào)“角”沒(méi)有周長(zhǎng)的3人，占“聽(tīng)說(shuō)過(guò)”總?cè)藬?shù)的27.3%，其中僅1人認(rèn)為4個(gè)圖形中只有“角”沒(méi)有周長(zhǎng)。錯(cuò)誤情況中包括：描了4個(gè)圖形的部分邊，描了4個(gè)圖形的角，涂了①號(hào)圖形的面積等。后又對(duì)僅認(rèn)為“角”沒(méi)有周長(zhǎng)的學(xué)生進(jìn)行訪談，該生能夠說(shuō)明：因?yàn)檫@個(gè)圖形兩條邊沒(méi)有連起來(lái)。再問(wèn)是怎么知道的？告知是爸爸教過(guò)的。
　　2.“沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)”的91人中，認(rèn)為2號(hào)“角”沒(méi)有周長(zhǎng)的28人，占“沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)”總?cè)藬?shù)的30.8%，但也僅2人認(rèn)為4個(gè)圖形中只有“角”沒(méi)有周長(zhǎng)，其余26人均把“角”和其他某個(gè)圖形一起看作沒(méi)有周長(zhǎng)。主要錯(cuò)誤同樣是描了4個(gè)圖形的部分邊，描了4個(gè)圖形的角，涂了①號(hào)圖形的面積等。后也同樣對(duì)僅認(rèn)為“角”沒(méi)有周長(zhǎng)的學(xué)生進(jìn)行訪談，兩位學(xué)生均告知是猜的。
　　從調(diào)查可知，學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念，知曉率并不高。而從學(xué)生嘗試指出“圖形周長(zhǎng)”的調(diào)查又可知，近80%學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”認(rèn)識(shí)相當(dāng)模糊，且有三分之一的學(xué)生一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)都沒(méi)有。
　　二、 通過(guò)《周長(zhǎng)》一課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”概念的理解達(dá)到怎樣的程度才是合理的？
　　在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生對(duì)于作為數(shù)學(xué)概念的“周長(zhǎng)”，雖然知之甚少，有的甚至一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)也沒(méi)有，但從學(xué)生的嘗試中可以看出，由于前有一些平面圖形的認(rèn)識(shí)及長(zhǎng)度測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，超過(guò)半數(shù)以上的學(xué)生對(duì)基于直觀認(rèn)識(shí)的“周長(zhǎng)”的理解應(yīng)該不太難。因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定如下：
　　1.認(rèn)識(shí)圖形的周長(zhǎng)，理解圖形周長(zhǎng)的含義，并能夠根據(jù)確定的周長(zhǎng)在點(diǎn)子圖上畫(huà)出相應(yīng)的圖形。
　　2.會(huì)測(cè)量圖形的周長(zhǎng)，并能夠在教師的啟發(fā)下想到用“化曲為直”的方法，測(cè)量一些曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)。
　　實(shí)踐時(shí)，兩個(gè)目標(biāo)可以分解成四個(gè)學(xué)習(xí)層次：層次一，知道圖形一周的長(zhǎng)度，就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)；層次二，能夠描出某個(gè)圖形的周長(zhǎng)；層次三，能夠測(cè)量基本平面圖形的周長(zhǎng)；層次四，能夠根據(jù)圖形的周長(zhǎng)想象出圖形。四個(gè)層次層層推進(jìn)，相互支撐。知道周長(zhǎng)概念是達(dá)成后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，指出圖形周長(zhǎng)和測(cè)量基本平面圖形的周長(zhǎng)，既是反映學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”意義是否理解的過(guò)程性層次，同時(shí)又是逐步引導(dǎo)學(xué)生深入體驗(yàn)圖形周長(zhǎng)、理解周長(zhǎng)意義的過(guò)程。第四個(gè)層次則是最高層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)。因?yàn)檫@不僅是引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)體驗(yàn)圖形周長(zhǎng)的意義，同時(shí)又是學(xué)生空間觀念培養(yǎng)的重要過(guò)程，是幾何直觀在思維層面上的體現(xiàn)，是一種充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)層次。
　　三、 基于“周長(zhǎng)”學(xué)習(xí)的活動(dòng)，怎樣組織才能既圍繞教學(xué)核心，又利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？
　　基本學(xué)習(xí)材料的選擇，當(dāng)然需要有利于喚起學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也能幫助學(xué)生很好地理解周長(zhǎng)意義。而學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)需要留給學(xué)生充分的思考空間，突出數(shù)學(xué)思考的含量，并有相應(yīng)的思維推進(jìn)層次。現(xiàn)結(jié)合具體的教學(xué)過(guò)程加以分析。
　　1.三個(gè)關(guān)鍵活動(dòng)的設(shè)計(jì)及實(shí)施
　　活動(dòng)一：觀察描述，感知周長(zhǎng)。
　　1.情境引出“一周”的概念。
　　呈現(xiàn)情境圖，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)圖中所講的事情。
　　師：她在做什么？
　　生：量腰圍。
　　師：腰圍是什么意思？
　　生：就是腰部一周的長(zhǎng)度。
　　順勢(shì)板書(shū)：一周的長(zhǎng)度
　　2.指出平面圖形的“一周”，導(dǎo)出周長(zhǎng)。
　　呈現(xiàn)學(xué)生在二年級(jí)下冊(cè)已經(jīng)認(rèn)識(shí)的平面圖形——長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形。
　　師：這些圖形有沒(méi)有“一周的長(zhǎng)度”？有，又在哪里呢？
　　請(qǐng)學(xué)生指出這些圖形一周的長(zhǎng)度。揭示概念：圖形一周的長(zhǎng)度，就是它的周長(zhǎng)
　　活動(dòng)二：描、量周長(zhǎng)，理解意義。
　　1.結(jié)合概念，指出以上三個(gè)平面圖形的周長(zhǎng)，教師根據(jù)學(xué)生的說(shuō)明，用多媒體操作演示圖形的周長(zhǎng)。
　　2.練習(xí)：下面的圖形有沒(méi)有周長(zhǎng)？如果有，請(qǐng)你用彩色筆描出它的周長(zhǎng)。
　　學(xué)生先在練習(xí)紙上獨(dú)立完成，反饋時(shí)分解為兩個(gè)層次：
　　層次一：確認(rèn)這些圖形有沒(méi)有周長(zhǎng)？為什么？
　　最后學(xué)生都認(rèn)為③號(hào)圖形沒(méi)有周長(zhǎng)。理由是“角”不是封閉圖形。于是教師完善板書(shū)：封閉圖形一周的長(zhǎng)度，就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。
　　層次二：指出其他圖形的周長(zhǎng)。教學(xué)中，學(xué)生對(duì)④號(hào)圖形的周長(zhǎng)認(rèn)識(shí)有困難，作重點(diǎn)討論。
　　3.度量圖形周長(zhǎng)。
　　師：如果想具體知道1號(hào)和5號(hào)圖形的周長(zhǎng)，你有什么辦法？
　　學(xué)生活動(dòng)，自主研究。
　　反饋①號(hào)圖形，用尺量出3條邊的長(zhǎng)度加起來(lái)即為圖形的周長(zhǎng)。
　　反饋⑤號(hào)圖形，直尺量不行，只能想其他辦法量這條線的長(zhǎng)度。這是本節(jié)課中富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，有利于激起學(xué)生的思考。
　　最終得出結(jié)論：周長(zhǎng)是可以測(cè)量的，當(dāng)周長(zhǎng)不是由線段組成時(shí)，我們可以把它轉(zhuǎn)化成線段來(lái)測(cè)量。
　　活動(dòng)三：逆向研究，發(fā)展思維。
　　師：同學(xué)們已經(jīng)知道什么是圖形的周長(zhǎng)了。現(xiàn)在老師想請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)周長(zhǎng)是10厘米的圖形，你想怎樣設(shè)計(jì)？
　　給學(xué)生一定的思考時(shí)間后，請(qǐng)他們?cè)邳c(diǎn)子圖上畫(huà)出圖形。
　　學(xué)生完成后分三個(gè)層次反饋：
　　層次一：畫(huà)了不封閉圖形的情況。師：這位同學(xué)是這樣畫(huà)的，你們同意嗎？（強(qiáng)調(diào)，不封閉圖形是沒(méi)有周長(zhǎng)的。）
　　層次二：畫(huà)了長(zhǎng)方形或正方形的情況。確認(rèn)這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是不是10厘米？如何確認(rèn)？（引導(dǎo)學(xué)生去數(shù)，當(dāng)然對(duì)長(zhǎng)方形和正方形特征掌握比較好的，可用它們的特征作說(shuō)明。）
　　層次三：畫(huà)了其他不規(guī)則的圖形。討論如何來(lái)確認(rèn)圖形的周長(zhǎng)，主要說(shuō)明：這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是不是10厘米？請(qǐng)學(xué)生通過(guò)“數(shù)”來(lái)確認(rèn)。“數(shù)”的過(guò)程中，鞏固對(duì)周長(zhǎng)“一周”的長(zhǎng)度的理解。
　　2.實(shí)踐后的思考
　　（1）數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，需要經(jīng)歷表象建立和豐富的過(guò)程。數(shù)學(xué)概念的理解與掌握，不僅僅指知道相關(guān)的文字描述，它更需要體現(xiàn)在多角度思維把握的過(guò)程中。因此，在概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中，建立起豐富的表象是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷的過(guò)程。以上三個(gè)層次的“周長(zhǎng)”學(xué)習(xí)活動(dòng)正是如此。
　　感知環(huán)節(jié)，描述周長(zhǎng)。這是一個(gè)“知道周長(zhǎng)”的過(guò)程。從生活概念“一周”導(dǎo)入到圖形“一周”的認(rèn)識(shí)，揭示概念，像這樣“圖形一周的長(zhǎng)度”，就是圖形的周長(zhǎng)。當(dāng)然，這個(gè)過(guò)程并不是一步到位的，而是通過(guò)對(duì)三個(gè)已認(rèn)識(shí)的平面圖形一周的感知，逐步深刻起來(lái)的。第一個(gè)圖形（長(zhǎng)方形）的“一周”，指名學(xué)生指出，媒體演示，學(xué)生觀察印刻于腦海中；第二個(gè)圖形（正方形）的“一周”，學(xué)生先指出，再媒體演示，學(xué)生書(shū)空描畫(huà)；第三個(gè)圖形（平行四邊形），先描畫(huà)，再媒體演示，再描畫(huà)。通過(guò)三個(gè)圖形周長(zhǎng)的描畫(huà)，幫助學(xué)生初步建立圖形周長(zhǎng)的直觀表象。
　　描、量環(huán)節(jié)，理解周長(zhǎng)，是本節(jié)課中的重點(diǎn)活動(dòng)，也是學(xué)生建立起“周長(zhǎng)”表象的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。請(qǐng)學(xué)生先判斷圖形有沒(méi)有周長(zhǎng)，再描出圖形周長(zhǎng)的過(guò)程，是一個(gè)學(xué)生自主建構(gòu)“周長(zhǎng)”概念的環(huán)節(jié)。反饋時(shí)又分三步，逐步完成。
　　第一步：明晰這些圖形有無(wú)周長(zhǎng)。課上主要借助圖3中的圖形③來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形周長(zhǎng)的概念。因?yàn)閹状谓虒W(xué)中，總有學(xué)生描了這個(gè)圖形（“角”）的周長(zhǎng)。于是請(qǐng)學(xué)生自主辯論，最后得出結(jié)論：這個(gè)圖形沒(méi)有周長(zhǎng)，因?yàn)樗皇欠忾]圖形，沒(méi)有一周，所以沒(méi)有周長(zhǎng)，從而完善對(duì)周長(zhǎng)概念的認(rèn)識(shí)。
　　第二步：描出復(fù)雜圖形的周長(zhǎng)，即圖3中的圖形②花朵圖案的周長(zhǎng)，引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)圖形的周長(zhǎng)是圍繞在圖形外圍一周的長(zhǎng)度。這同樣是一個(gè)完善認(rèn)識(shí)的重要步驟。
　　第三步：測(cè)量圖形的周長(zhǎng)。以圖3中的①號(hào)三角形和⑤號(hào)圓為材料，請(qǐng)學(xué)生量出這兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在度量過(guò)程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到周長(zhǎng)的“長(zhǎng)度”屬性，也即周長(zhǎng)是可測(cè)量的。實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生能夠從中感悟到周長(zhǎng)的“長(zhǎng)度”屬性。他們很自然地用尺量出了三角形三條邊的長(zhǎng)度。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，三條邊的長(zhǎng)度和便是這個(gè)三角形的周長(zhǎng)，加深對(duì)周長(zhǎng)意義的理解。而測(cè)量圓的周長(zhǎng)時(shí)，學(xué)生碰到了測(cè)量技術(shù)上的困難，但其測(cè)量這條曲線長(zhǎng)度的意向還是相當(dāng)明確，說(shuō)明學(xué)生對(duì)圓周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)還是清楚的。
　　（2）組織富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生的思維得以提升。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須有學(xué)生數(shù)學(xué)思維經(jīng)歷的過(guò)程，而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)是重要的因素。本節(jié)課中，兩個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的挑戰(zhàn)性特點(diǎn)。
　　①測(cè)量圓的周長(zhǎng)。學(xué)生已有的測(cè)量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)，只是停留于對(duì)線段長(zhǎng)度的測(cè)量。當(dāng)碰到如同圓的周長(zhǎng)這樣的長(zhǎng)度測(cè)量時(shí)，還是碰到了不小的困難。而正因?yàn)榻鉀Q這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)成的辦法，需要突破常規(guī)，創(chuàng)新思路，所以更有挑戰(zhàn)性和思考的價(jià)值。實(shí)踐中，也確實(shí)有學(xué)生想到了解決的辦法。
　　有一位學(xué)生想到，將圓周平均分成16份，然后用尺量出其中一份的長(zhǎng)度，再乘以16，就是這個(gè)圓的周長(zhǎng)。于是，有學(xué)生想到了再分下去，我想這已經(jīng)接近于古時(shí)測(cè)量圓周長(zhǎng)的“割圓術(shù)”了。
　　還有學(xué)生想到，用一把軟尺繞在圓周上，進(jìn)行直接測(cè)量。這樣的想法，也頗有創(chuàng)意，當(dāng)我們不能把直尺彎過(guò)來(lái)時(shí)，我們可以將尺變軟。
　　當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中，也確實(shí)有學(xué)生想到，先用一根線繞在圓周上，然后將正好繞圓一周的線剪下來(lái)，用直尺測(cè)量線的長(zhǎng)度，也就測(cè)量出圓的周長(zhǎng)了。這便是典型的“化曲為直”的思想了。
　　②點(diǎn)子圖上畫(huà)出周長(zhǎng)為10厘米的圖形。此學(xué)習(xí)任務(wù)的目標(biāo)是使學(xué)生進(jìn)一步理解圖形周長(zhǎng)的本質(zhì)內(nèi)涵。同時(shí)，在學(xué)生的反饋中，有多種的表示形式，可以作為提高學(xué)生空間想象能力、發(fā)展空間觀念的重要素材。
　　學(xué)生的作業(yè)也反映了不同的思維水平。水平一，只能畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖形①或圖形②）；水平二，能畫(huà)出兩個(gè)長(zhǎng)方形，即圖形①和圖形②；水平三，能畫(huà)出如圖形③、圖形④、圖形⑤這樣的不規(guī)則圖形。
　　當(dāng)有學(xué)生呈現(xiàn)了如圖形③這樣的圖形時(shí)，有學(xué)生發(fā)出了驚嘆聲，相信是這些有創(chuàng)意的作業(yè)給了他一種恍然大悟的感覺(jué)。而這樣的思維過(guò)程，也正是學(xué)生有創(chuàng)意的思考解決問(wèn)題的表現(xiàn)。這樣的想象力和思考力，也同樣是學(xué)生空間觀念培養(yǎng)的重要方