數(shù)學(xué)教學(xué)中對書本例題的使用例談

　　我國著名的教育家葉圣陶先生說過：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受益，還要靠教師的善于運(yùn)用。”新課標(biāo)對教材的使用提出了新的要求：要求“用教材教”而不是“教教材”；不是簡單地學(xué)教材，而是把教材作為“引子”，作為“材料”；不是把教材奉為神圣不可侵犯的“圣經(jīng)”，也不能“無教材論”，采取“舍本逐末”的做法，而是根據(jù)實(shí)際情況對其進(jìn)行必要的取舍與加工，即要求“用好教材，超越教材”。以下是筆者在教學(xué)中對課本例題處理的一個案例。
　　書本例題：
　　已知橢圓C：+，直線L：4x-5y+40=0。橢圓C上是否存在一點(diǎn)，使它到直線l的距離最小？最小距離是多少？
　　此題是人教出版社A版高中數(shù)學(xué)選修2-1教材第47頁例7，本節(jié)是直線與橢圓的第一節(jié)課，主要內(nèi)容是如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長問題等。但是如果課上按部就班地只講以上例題顯然不能達(dá)到教學(xué)的目標(biāo)，還需要再補(bǔ)充別的習(xí)題。為此我是這樣運(yùn)用這個例題的。
　　一、復(fù)習(xí)中走進(jìn)例題
　　我上課時先給出以下問題：
　　（1）已知直線L：4x-5y+m=0，橢圓C：+=1的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，橢圓Ｃ上存在一點(diǎn)p，使∠F1PF2=60°，S=3.求橢圓C的方程。
　　解：△F1PF2中，設(shè)∠F1PF2=?琢，|PF1|=m，|PF2|=n，
　　在△F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncos?琢=（2a）2-2mn-2mncos?琢，∴mn=.S=mnsin?琢=××sin?琢==b2tanQ∠F1PF2=60°，?琢=60°，∴b2×=3，∴b2=9
　　∴橢圓C：+=1.
　　這個問題的解決得益于橢圓的定義，PF1+PF2=2?琢，再結(jié)合余弦定理使問題解決。最后總結(jié)出了焦點(diǎn)三角形的面積公式：S=b2tan.可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)焦點(diǎn)三角形頂角已知時，其面積只與b有關(guān)，而和a無關(guān)。當(dāng)學(xué)生正在為得出這樣一個結(jié)論而開心的時候我又給出了第2個問題。
　　二、拓展追問中完成教學(xué)任務(wù)
　　（2）試討論直線l：4x-5y+m=0與橢圓C交點(diǎn)的個數(shù)。
　　問題（2）給出后我叫學(xué)生自己獨(dú)立進(jìn)行思考，我在下面看學(xué)生是如何解題的。我發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生是受判斷直線與圓交點(diǎn)個數(shù)的影響，想用圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較大小的方法來做。但是在求出了原點(diǎn)到直線l：4x-5y+m=0的距離后不知道與哪個量進(jìn)行比大小了。之后我進(jìn)行講解，講解了橢圓與圓的不同之處，本題要判斷直線l與橢圓C交點(diǎn)的個數(shù)，需要借助方程組解的情況。
　　解：4x-5y+m=0+=1聯(lián)立得：25x2+8mx+m2-225=0.
　　△=22500-36m2.
　　當(dāng)m=±25時，△=0，此時直線l與橢圓C相切；
　　當(dāng)-25　　當(dāng)m<-25或m>25時，△<0，此時直線l與橢圓C相離。
　　通過第（2）題發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生的解題計算能力不強(qiáng)，出現(xiàn)了許多錯誤，同時提醒同學(xué)不要使用計算器。問題解決以后我問，如m=20時直線l與橢圓C的位置關(guān)系是什么？學(xué)生回答是相交的。好的，我總結(jié)道，此時是相交于兩點(diǎn)，那么就有如下問題。
　　（3）當(dāng)m=20時，求直線l被橢圓C所截弦長。
　　學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考之后我發(fā)現(xiàn)仍有部分同學(xué)試圖用垂徑定理來做，在受阻后改用求交點(diǎn)坐標(biāo)或者利用弦長公式來求。
　　解：4x-5y+m=0+=1聯(lián)立得：25x2+160x+175=0，△=8100.
　　所求弦長為|x2-x1|=×=.
　　我對這種設(shè)而不求的解題方法進(jìn)行了總結(jié)后，又給出了下面的問題：
　　（4）直線l被橢圓C所截弦長為，求直線l的方程。
　　解：4x-5y+m=0+=1聯(lián)立得：25x2+8mx+m2-225=0.
　　△=22500-36m2.
　　所求弦長為|x2-x1|=×=.
　　解得m=±20.
　　問題解決后我試問學(xué)生為什么會有兩個解？從幾何圖像上進(jìn)一步給出解釋。如果解出的m不是±20，而是m=-20和m=40，那么該怎么辦？讓學(xué)生學(xué)會檢驗(yàn)，知道m(xù)=40時，此時直線l與橢圓C相離了，所以m=40要舍去。接著我繼續(xù)給出了第5題。
　　三、回歸課本、超越課本
　　（5）當(dāng)m=40時，求橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最值。
　　解：4x-5y+m=0+=1聯(lián)立得：25x2+8mx+m2-225=0.
　　△=22500-36m2 . 當(dāng)m=±25時，△=0.此時直線l與橢圓C相切；
　　橢圓的兩條切線方程為4x-5y+25=0和4x-5y-25=0.
　　因此橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為
　　dmin==，
　　橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為
　　dmax==.
　　第（5）小題不僅僅解決了書本例題中求橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值，還進(jìn)一步求出了距離的最大值。體現(xiàn)了回歸課本而超越課本的思想。
　　現(xiàn)把這5題問題匯總一下，就是如下一個題目：
　　已知直線L：4x-5y+m=0，橢圓C：+=1的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，橢圓C上存在一點(diǎn)P，使∠F1PF2=60°，S=3.
　　（1）求橢圓C的方程；
　　（2）試討論直線l與橢圓C交點(diǎn)的個數(shù)；
　　（3）當(dāng)m=20時，求直線l被橢圓C所截弦長；
　　（4）直線l被橢圓C所截弦長為，求直線l的方程；
　　（5）當(dāng)m=40時，求橢圓C上的點(diǎn)到直線距離的最值。
　　把例題進(jìn)行以上改編，就是借助教材中例題已經(jīng)提供的素材與背景，采用拓展追問的方式，引發(fā)學(xué)生深層次的思維活動，實(shí)現(xiàn)“縱向到底”的功效。這種方法的好處是能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，發(fā)展學(xué)生的思維深刻性，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是師生都要有強(qiáng)烈的問題意識，勇敢地猜想，大膽地提問，小心地求證。進(jìn)行改編時，要保證所編題目的可操作性，比如以上題目第（3）小題要保證計算數(shù)字不要太繁瑣，第（1）小題中，如果是令∠F1PF2=120°，S=9，若運(yùn)用焦點(diǎn)三角形面積公式，仍然可以得到b2=9，但是這樣p點(diǎn)其實(shí)是不存在的，因?yàn)闄E圓+=1的焦點(diǎn)三角形的最大面積才是12，而12<9。所以在改編題目的時候一定要考慮周全，確保萬無一失。
　　“用教材教，而不是教教材”真正的意圖是要求教師能夠更加靈活地、更富有創(chuàng)造性地使用教材，這就要求教師首先要認(rèn)真鉆研教材，理解教材編寫者的意圖，吃透教材的精神與實(shí)質(zhì)，把握好教學(xué)的重難點(diǎn)，做到“以生為本”“用教材教”。其次要能夠讀出教材文本的“弦外之音”，讀懂教材編寫者的“未盡之言”。如果把教材文本呈現(xiàn)的內(nèi)容看作是“露出海面的冰山一角”，那么“不是教教材”就要求教師能夠把“海面以下的巨大冰山托出海面”，讓學(xué)生領(lǐng)略到“整座冰山”。
　　（責(zé)任編輯 劉永